leetcode 51. N-Queens N 皇后(困难)

一、题目大意

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https://leetcode.cn/problems/n-queens

按照国际象棋的规则,皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。

n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上,并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ,返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。

每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案,该方案中 ‘Q’ 和 ‘.’ 分别代表了皇后和空位。

示例 1:
leetcode 51. N-Queens N 皇后(困难)_第1张图片

输入:n = 4
输出:[[“.Q…”,“…Q”,“Q…”,“…Q.”],[“…Q.”,“Q…”,“…Q”,“.Q…”]]
解释:如上图所示,4 皇后问题存在两个不同的解法。

示例 2:

输入:n = 1
输出:[[“Q”]]

提示:

  • 1 <= n <= 9

二、解题思路

经典的递归入门题目,在N*N的棋盘上面放上N个皇后,然后使得任意两个皇后不能相互攻击,没有玩的国际象棋,皇后的攻击范围是整个一行一列以及对角线攻击,以N=8为例,问题就是摆放8个皇后,皇后之间不能相互攻击。先看一个最关键的特性,因为每个皇后会攻击一行或一列,一个最基本的要求是每行只有一个皇后,每列也只有一个皇后,每条对角线也只有一个皇后,这道题是用递归进行搜索,根据这个特性可以减去不需要的判断。
leetcode 51. N-Queens N 皇后(困难)_第2张图片

皇后的攻击范围是行、列、对角线,如上图,棋盘是11是有1个解棋盘是22与33是无解,8皇后是92个解,棋盘是对称的,fundamental是基本解,上下对称、左右对称、对角线对称。解的增长是很快的,当棋盘是2424时解基本上就是天文数字了,题目给出N的范围是1-9
每一行只能放一个皇后,用递归的方法,当前行找一个位置放皇后,下一行再找一个位置放皇后,每放置一个皇后将它所有的攻击范围标记成不能走,下一行皇后放置的位置范围就少了,这就是递归的过程。
leetcode 51. N-Queens N 皇后(困难)_第3张图片

它的对角线的特点,8皇后,正对角线和反对角线分别有15条,对应的公式为2*n-1。放置一个皇后后可以将当前位置的对角线设置为不可走,但是这样会浪费很多时间和空间,其实我们可以用一个变量来描述这一行、一列、一个对角线。最小单位就是一行、一列、一个对角线,对角线从左上角到右下角标记成0…14,我们就可以用这15个变量来描述这15条对角线,对角线的索引和格子的xy有什么关系呢?红色对角线的索引idx = x + y,蓝色对角线的索引idx = x - y + (n - 1),这样在递归搜索的时候就可以减少判断了。
看伪代码,按行来搜索,所以就不用来记录第几行直接用y来表示。因为不能放到之前的行数中去,比如递归到第4行的时候,前面3行已经放置了3个皇后,现在要在第4行中找一个合适的位置放置第4行的皇后,所以行数就不用数组来描述它是否已经被占据了,从0到y-1的行数已经被占据了,是不能放置皇后的。当y == n的时候,表示超过棋盘了,即已经放置了n个皇后了,找到解了,即把当前的棋盘追加到返回结果中,返回,递归结束。对于第y行来说,要循环这个列,x从0到n开始循环,先判断当前格式是否能走,能走的话将皇后放置在这个位置并继续下一层递归,递归完之后要将这一行清空,表示这一行没有皇后,并将这行的位置置为可走。available判断是否可走的实现:判断列是否可走,正对角线是否可走,反对角线是否可走。

三、解题方法

3.1 Java实现

public class Solution {
    public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
        board = new ArrayList<>();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            // jdk11
            // board.add(".".repeat(n));
            board.add(".".repeat(n).toCharArray());
        }
        cols = new boolean[n];
        diag1 = new boolean[2 * n - 1];
        diag2 = new boolean[2 * n - 1];
        sols = new ArrayList<>();

        nqueens(n, 0);

        return sols;
    }

    /**
     * 记录棋盘
     */
    private List<char[]> board;
    /**
     * 记录第x列是否有皇后
     */
    private boolean[] cols;
    /**
     * 记录第x条正对角线上是否有皇后
     */
    private boolean[] diag1;
    /**
     * 记录第x条反对角线上是否有皇后
     */
    private boolean[] diag2;
    /**
     * 记录解
     */
    private List<List<String>> sols;

    boolean available(int x, int y, int n) {
        return !cols[x] && !diag1[x + y] && !diag2[x - y + n - 1];
    }

    /**
     * 更新棋盘
     *
     * @param x
     * @param y
     * @param n
     * @param put
     */
    void updateBoard(int x, int y, int n, boolean put) {
        cols[x] = put;
        diag1[x + y] = put;
        diag2[x - y + n - 1] = put;
        board.get(y)[x] = put ? 'Q' : '.';
    }

    void nqueens(int n, int y) {
        if (y == n) {
            List<String> tmp =  board.stream().map(t -> String.valueOf(t)).collect(Collectors.toList());
            sols.add(tmp);
            return;
        }
        for (int x = 0; x < n; x++) {
            if (!available(x, y, n)) {
                continue;
            }
            // 更新棋盘
            updateBoard(x, y, n, true);
            nqueens(n, y + 1);
            // 将棋盘还原
            updateBoard(x, y, n, false);
        }
    }
}

四、总结小记

  • 2022/6/6 回溯+递归来解决八皇后问题

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