电容和电感的充放电公式推导

电容

充电方程:u_{C}(t) = u_{IN}*(1-e^{-t/RC })

放电方程:u_{C}(t) =u_{IN}*e^{-t/RC }

电容和电感的充放电公式推导_第1张图片

开关闭合后,流过电容的电流为:I=C\frac{du_{C}}{dt}

根据基尔霍夫定律列出方程:u_{IN}=IR+u_{C} = C\frac{du_{C}}{dt}R+u_{C}

u_{IN}为输入信号,R为串联电阻,u_{C}为电容电压,C为电容容量)

整理得:\frac{du_{C}}{dt}+\frac{u_{C}}{RC}=\frac{u_{IN}}{RC}        (1-1)

这是一阶线性微分方程,并且\frac{u_{IN}}{RC}\not\equiv 0,所以是非齐次的。

(假如u_{IN}是一个直流信号,那么整理后可写为:\frac{dt}{RC}=\frac{du_{C}}{u_{IN}-u_{C}},更容易求解,解出来和下面的最终结果相同)

先令\frac{u_{IN}}{RC}= 0,化为齐次方程:\frac{du_{C}}{dt}+\frac{u_{C}}{RC}=0         (1-2)

分离变量后得到:\frac{du_{C}}{u_{C}}=-\frac{dt}{RC}

两端积分:\int \frac{du_{C}}{u_{C}}=-\int \frac{dt}{RC}

算出来为:ln|u_{C}|=-\frac{t}{RC}+K_{1}

也可以写为:u_{C}=\pm e^{-t/RC+K_{1}}

K=\pm e^{K1},得u_{C}=Ke^{-t/RC},这是式(1-2)的通解。

下面使用常数变易法继续求解。

将K换成t的未知函数u(t):u_{C}=ue^{-t/RC}        (1-3)

两边对时间t求导得到:\frac{du_{C}}{dt}=u'e^{-t/RC}+(-\frac{1}{RC})*ue^{-t/RC}        (1-4)

将式(1-3)和(1-4)代入式(1-1)得到;

u'e^{-t/RC}+(-\frac{1}{RC})*ue^{-t/RC}+\frac{1}{RC}*ue^{-t/RC}=\frac{u_{IN}}{RC}

整理得:u'=\frac{u_{IN}}{RC}*e^{t/RC}

两边积分得:u=u_{IN}*e^{t/RC}+A

把上式代入式(1-3)得:u_{C}=(u_{IN}*e^{t/RC}+A)*e^{-t/RC}

即:u_{C}=u_{IN}+Ae^{-t/RC}        (1-5)

代入初值条件:充电时,当t=0时,u_{C}=0,代入上式,解出:A=-u_{IN}

把A代入(1-5)得到:u_{C} = u_{IN}*(1-e^{-t/RC })


为了下文简便,做一点补充:

一阶线性微分方程表示为:\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)

可以直接用公式y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)求解。


放电时,把电源看作短路,初值条件为:t=0时,u_{C}=u_{IN};(设电容放电时初始电压为u_{IN})

根据基尔霍夫定律列出方程:C\frac{du_{C}}{dt}R=-u_{C}

移项:\frac{du_{C}}{u_{C}}=-\frac{dt}{RC}

两边积分:\int \frac{du_{C}}{u_{C}}=-\int \frac{dt}{RC}

积分后得到:ln|u_{C}|=-\frac{t}{RC}-K        (1-6)

代入初值条件,解出:K=-ln(u_{IN})

把K代入(1-6)得到:u_{C} =u_{IN}*e^{-t/RC }


电感

充电方程:I(t) = \frac{u_{IN}}{R}*(1-e^{-tR/L })

放电方程:I(t)=I_{f}*e^{-tR/L}

电容和电感的充放电公式推导_第2张图片

开关闭合后,电感两端电压为:u_{L}=L\frac{dI}{dt}

根据基尔霍夫定律列出方程:u_{IN}=IR+L\frac{dI}{dt}

u_{IN}为输入电源,R为串联电阻,I为电流,L为电感量)

移项得:\frac{dI}{dt}+\frac{RI}{L}=\frac{u_{IN}}{L}

这也是一阶线性非齐次方程,直接使用上述公式

y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)求解;

这里P(t)=\frac{R}{L}Q(t)=\frac{u_{IN}}{L}

代入移项后的公式得:I=e^{-Rt/L}(\int \frac{u_{IN}}{L}e^{tR/L}dt+C)

把积分算出来后得到微分方程的通解:I=\frac{u_{IN}}{R}+Ce^{-tR/L}

代入初值条件,当t=0时,I=0,解出:C=-\frac{u_{IN}}{R}

把C代入微分方程的通解得到:I= \frac{u_{IN}}{R}*(1-e^{-tR/L })


释放能量时,把电源看作短路,设初始电流为I_{f},初值条件为:t =0时,I =I_{f}

根据基尔霍夫定律列出方程:IR=-L\frac{dI}{dt}

移项得:\frac{dI}{I}=-\frac{R}{L}dt

两边积分:\int \frac{dI}{I}=-\int \frac{R}{L}dt

积分后得到:ln|I|=-\frac{tR}{L}-C

代入初值条件,解出:C=-ln(I_{f})

把C代入通解得到:I=I_{f}*e^{-tR/L}

(根据充电方程可知,电感电流最大会达到\frac{u_{IN}}{R},而电感电流必定连续,故假如电感储能达到极限后开始释放能量,则I_{f}=\frac{u_{IN}}{R}.)


补充:对电感充电方程取微分,得:\frac{dI}{dt}=\frac{u_{IN}}{R}(\frac{R}{L}e^{-tR/L}),令R=0,则\frac{dI}{dt}=\frac{u_{IN}}{L},该式表明:当电感与电源直接相连时,电流会以斜率\frac{u_{IN}}{L}上升,理论上可以达到无穷大。

你可能感兴趣的:(硬件工程,笔记)