【2018年数据结构真题】

方法一

给定一个含n(n>=1)个整数的数组，请设计一个在时间上尽可能高效的算法，找出数组中未出现的最小正整数。例如，数组{-5，3，2，3}中未出现的最小正整数是1；数组{1，2，3}中未出现的最小正整数是4。要求：

1. 给出算法的基本设计思想。

2. 根据设计思想，采用C或C++语言描述算法，关键之 处给出注释。

3. 说明你所设计算法的时间复杂度和空间复杂度。

读完题目先找关键词，这里可以直接提取这样几个关键词

• 使用数组，求未出现的最小正整数
• 看到数组，是不是想到是否有序
• 时间+空间尽可能高效

暴力解：快速排序，然后扫描一遍数组

先对数组A快速排序得到升序序列，然后遍历数组找到第一个未出现的最小正整数。

void Qsort(int A[], L, R){      //a数组保存数据，L和R是边界
    if (L>=R) return;      //当前区间元素个数<=1则退出
    int key, i=L, j=R;     //i和j是左右两个数组下标移动
    
//把a数组中随机一个元素和A[L]交换,快排优化，使得基准值的选取随机

    key=A[L]; //key作为枢值参与比较while (ikey) j--;
        while (i

方法二

解析：

思想借鉴到了 Counting sort 中的方法。既然不能用额外空间，那就只有利用
数组本身，跟 Counting sort 一样，利用数组的 index 来作为数字本身的索引，把正
数按照递增顺序依次放到数组中。即让 A[0]=1, A[1]=2, A[2]=3, … , 这样一来，
最后如果哪个数组元素违反了 A[i]=i+1 即说明 i+1 就是我们要求的第一个缺失的正
数。对于那些不在范围内的数字，我们可以直接跳过，比如说负数，0，或者超过数组
长度的正数，这些都不会是我们的答案。

思路：

交换数组元素，使得数组中第 i 位存放数值(i+1)。最后遍历数组，寻找第一
个不符合此要求的元素，返回其下标。整个过程需要遍历两次数组，复杂度为 O(n)。
下图以题目中给出的第二个例子为例，讲解操作过程。

public int firstMissingPositive(int []A){
    if(A==null||A.length==0)
    {
        return 1;
    }
    for(int i=0;i0 && A[A[i]-1]!=A[i])
        {
            int temp = A[A[i]-1];
            A[A[i]-1] = A[i];
            A[i] = temp;
            i--;
        }
    }
    for(int i=0;i

实现中还需要注意一个细节，就是如果当前的数字所对应的下标已经是对应数字了，
那么我们也需要跳过，因为那个位置的数字已经满足要求了，否则会出现一直来回交
换的死循环。这样一来我们只需要扫描数组两遍，时间复杂度是 O(2*n)=O(n)，而且
利用数组本身空间，只需要一个额外变量，所以空间复杂度是 O(1)。

补充

Counting sort 基本思想：

对于给定的输入序列中的每一个元素 x，确定该序列中值小于 x 的元素的个数 。一
旦有了这个信息，就可以将 x 直接存放到最终的输出序列的正确位置上。它创建一个
长度为这个数据范围的数组 C，C 中每个元素记录要排序数组中对应记录的出现个
数。

下面以示例来说明这个算法：

假设要排序的数组为 A = {1,0,3,1,0,1,1}这里最大值为 3，最小值为 0，那么我们
创建一个数组 C，长度为 4。

然后一趟扫描数组 A，得到 A 中各个元素的总数，并保持到数组 C 的对应单元中。比如 0 的出现次数为 2 次，则 C[0] = 2;1 的出现次数为4 次，则 C[1] = 4。由于 C 是以 A 的元素为下标的，所以这样一做，A 中的元素在 C中自然就成为有序的了，这里我们可以知道 顺序为 0,1,3 (2 的计数为 0)然后我们把这个在 C 中的记录按每个元素的计数展开到输出数组 B 中，排序就完成了。

也就是 B[0] 到 B[1] 为 0 B[2] 到 B[5] 为 1 这样依此类推。
这种排序算法，依靠一个辅助数组来实现，不基于比较，算法复杂度为 O(n) ，但由
于要一个辅助数组 C，所以空间复杂度要大一些，由于计算机的内存有限，所以这种
算法不适合范围很大的数的排序。

上述为计数排序算法的经典解法，不过这个解法并不是最优的，因为空间复杂度还应
该可以优化，我们完全可以不要那个输出的数组 B，直接对 C 进行排序。