C语言二叉树与堆的实现（一）
目录
二叉树
二叉树的分类（目前只谈两种）
满二叉树
完全二叉树
二叉树的性质（其余的可以自己总结）
选择练习
二叉树的存储结构
顺序存储方式
链式存储方式
一种完全二叉树：堆
堆的概念
堆的性质
建堆的时间复杂度
堆的空间复杂度：
小堆的实现
必要补充
堆的初始化
堆的销毁
向上调整算法
堆的插入
向下调整算法
堆的删除
获取堆顶元素
获取堆中元素个数
堆的判空
最终代码
思考：堆的意义是什么？
1、堆排序
2、top k问题
二叉树
定义：二叉树是一种特殊的树状数据结构，它由多个节点组成，每个节点最多有两个子节点（左结点和右结点）这些子节点可以为空，任意的二叉树均由以下几种情况复合而成的：
因此我们可以得到以下结论：
- 二叉树的度小于等于2，二叉树的度不一定等于2，但是度为2的树就是二叉树
- 二叉树是有序树，子树有左右之分，不能颠倒
二叉树的分类（目前只谈两种）
满二叉树
定义：每一层的结点数都达到最大值的二叉树称为满二叉树
若二叉树层数为k，且结点总数为（2^k）-1 ，则为满二叉树
完全二叉树
定义：二叉树的最后一层是不满情况的二叉树称为完全二叉树，满二叉树是一种特殊的完全二叉树
若二叉树层数为k，且树中结点总数为[2^(k-1) ，(2^k) - 1]，则为完全二叉树
二叉树的性质（其余的可以自己总结）
1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第k层上最多有2^(k-1)个结点
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为k的二叉树的最大结点总数为(2^k) - 1
3. 若规定根节点的层数为1，则深度为k的二叉树的最小结点总数为2^(k - 1)
4. 完全二叉树中，度为2的结点总数 = 叶子结点总数 - 1
5. 任意一棵二叉树， 叶子节点总数 = 分支节点总数 + 1（根节点）
6. 任意一棵二叉树，结点总数 = 叶子结点总数 + 分支节点总数（度为2的结点）
7. 对于一颗完全二叉树，2 * 叶子结点总数 + 度为1的结点总数 - 1 = 结点总数
8. 完全二叉树 总结点数为偶数 则度为1的结点数为1 总节点数为奇数 则度为1的结点数为0
9. 若规定根节点的层数为1，则具有n个结点的二叉树的深度，h = （log以2为底n+1的对数）
10. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
- 若i=0，i为根节点下标，无双亲节点
- 若i>0，i下标的结点的双亲结点的下标为（i-1）/ 2
- 若i>0，i下标的结点的左孩子结点的下标为2 * i +1
- 若i>0，i下标的结点的左孩子结点的下标为2 * i +2
-
对于节点 i，若 2 * i + 1 < n，则节点 i 有左孩子。若 2 * i + 1 >= n，则节点 i 没有左孩子
-
对于节点 i，若 2 * i + 2 < n，则节点 i 有右孩子。若 2 * i + 2 >= n，则节点 i 没有左孩子
选择练习
1、某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（B）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
结点总数 = 叶子结点总数 + 分支结点总数（度为2的结点） 399 = ？ + 199 ？ = 2002、在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（A ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2
//文字描述 完全二叉树中，度为2的结点总数 = 叶子结点总数 - 1 又因为，叶子结点总数 + 度为1的结点总数 + 度为2的结点总数= 2n 则可得：2*叶子结点总数 + 度为1的结点总数 - 1 = 2n 完全二叉树中，度为1的结点总数只能为0或1，由于2n为偶数，故度为1的结点总数 = 1 因此，叶子结点总数 = n //简化描述 完全二叉树中，有n2 = n0 - 1 再根据题设条件，得n0 + n1 + n2 = 2n 则可得：2n0 + n1 - 1 = 2n 完全二叉树中，n1只能为0或1，由于2n为偶数，故n1 = 1 因此，n0 = n3、一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（B ）
A 11
B 10
C 8
D 12
若二叉树层数为k，且树中结点总数为[2^(k-1) ，(2^k) - 1]，则为完全二叉树 A：[2^(11-1) ，(2^11) - 1] = [1024,2047] 1024 > 531 B：[2^(10-1) ，(2^10) - 1] = [512,1023] 512 < 531 < 1023 C：[2^(8-1) ，(2^8) - 1] = [128,511] 511 < 531 D：[2^(12-1) ，(2^12) - 1] = [2048,4095] 2048 > 5314、一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（B）
A 383
B 384
C 385
D 386
完全二叉树 总结点数为偶数 则度为1的结点数为1 总节点数为奇数 则度为1的结点数为0 2 * 叶子结点总数 + 度为1的结点总数 - 1 = 结点总数 767为奇数，故度为1的结点总数为0，故： 2 * 叶子结点总数 - 1 = 结点总数 2 * ？ - 1 = 767 ？ = 384
二叉树的存储结构
顺序存储方式
顺序存储方式即使用数组为底层逻辑进行存储，一般用于实现完全二叉树，因为对不完全二叉树使用顺序存储会存在空间浪费：
二叉树顺序存储在物理逻辑上是一个数组，在虚拟逻辑上是一颗二叉树
链式存储方式
链式存储方式即使用链表为底层逻辑进行存储，同时链表还可以表示二叉树中各元素间的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链表和三叉链表，前我们学习的一般都是二叉链，在学习至红黑树时会用到三叉链......
一种完全二叉树：堆
堆的概念
概念：如果有一个关键码的集合K = { k0，k1，k2，…}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，若分别满足以下两种情况，则称该堆为小/大堆：
根节点为最大值的堆叫做最大堆或大根堆，根节点为最小值的堆叫做最小堆或小根堆
堆的性质
- 堆是一个完全二叉树；
- 堆中每一个节点的值都必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值
建堆的时间复杂度
1、我们将一个高度为h的满二叉树转变成一个小堆，该小堆的结点总数为log(N+1)
一般来说对数的底我们将其忽略，所以这里原本是log(以2为底N+1的对数)
第一层的结点个数为2^0、第二层的结点个数为2^1......第h层的结点个数为2^(h-1)
结点总数为：2^0 + 2^1 +......+2^(h-1) = 2^h - 1
（等比数列求和公式：Sn=a1 (1-q^n)/ (1-q)）
假设结点总数为N，则N与h的关系是N = 2^h - 1 == h = log(N+1)即一个高h的满二叉树的结点个数为log(N+1)
2、进行堆的调整，得到最终的时间复杂度为O(N*logN)
第一层元素向上调整0次，第二层元素向上调整1次......第h层元素向上调整h-1次
同时每一层元素中的结点个数又分别为2^0、2^1......2^(h-1)
总调整次数T为：T = 2^0×0 + 2^1×1 +......2^(h-1)×(h-1) ①
利用错位相减法列出第二个式子：2*T = 2^1×0 + 2^2×1 +......2^h×(h-1) ②
由① - ②得： T = 2 + 2^h * (h-2) ③
将h = log（以2为底N+1的对数）代入③得④：
T = （N+1）log（以2为底N+1的对数）- 2 * N ④
将④利用大O渐进表示法转换为 T(N) = O(N*log以2为底N的对数)
结论：建堆的空间复杂度为O(N*logN)
堆的空间复杂度：
小堆的空间复杂度为O(n)，其中n是小堆中元素的个数。在建堆的过程中，需要额外的空间来存储数组中的元素。
结论：建堆的时间复杂度为O(N)
小堆的实现
我们利用顺序表（顺序存储方式）实现堆
必要补充
堆的任何一个父结点的编号parent与其左孩子结点的编号leftchild满足如下关系式:
理解这里是我们后续在编写向上调整算法与向下调整算法时的基础
堆的初始化
//初始化堆
void HeapInit(HP* php)
{
//检查堆的有效性
assetr(php);
php->a = NULL;
php->capacity = 0;
php->size = 0;
}堆的销毁
free可以用来检查是否为空，若指针为空，则free不执行任何操作，指针不为空就释放内存空间
//堆的销毁
void HeapDestroy(HP* php)
{
assert(php);
//释放a指针的内存空间并将a指针置为空
free(php->a);
php->a = NULL;
php->capacity = 0;
php->size = 0;
}向上调整算法
//向上调整
void AdjustUP(HPDataType* a,int child)
{
int parent = (child - 1) / 2;
//当孩子等于0的时候它已经位于树顶了没有父亲了就应该结束循环
while(child > 0)
{
if (a[child] < a[parent])
{
//如果儿子小于父亲就交换父子位置，同时将此时
Swap(&a[child], &a[parent]);
child = parent;
parent = (parent - 1) / 2;
}
//由于是写一个小堆，所以当孩子大于等于父亲时不需要交换，直接退出循环即可
else
{
break;
}
}
}
堆的插入
//堆的插入
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
assert(php);
//扩容
if (php->size == php->capacity)
{
size_t newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newCapacity * sizeof(HPDataType));
if (tmp == NULL)
{
perror("realloc error");
return -1;
}
php->a = tmp;
php->capacity = newCapacity;
}
php->a[php->size] = x;
php->size++;
//向上调整,从顺序表最后一个元素开始调整，该元素的下标为size-1
AdjustUP(php->a, php->size - 1);
}每插入一个新的元素都需要进行一次向上调整的判断
向下调整算法
//向下调整算法
void AdjustDown(HPDataType* a, int size, int parent)
{
//根据之前的推论，左孩子的下标值为父亲下标值的两倍+1，左孩子的下标值为父亲下标值的两倍+2
int child = parent * 2 + 1;
//循环结束的条件是走到叶子结点
while (child < size)
{
//假设左孩子小，若假设失败则更新child，转换为有孩子小，同时保证child的下笔爱哦
if (child + 1< size && a[child + 1] < a[child])
{
++child;
}
if (a[child] < a[parent])
{
//如果此时满足孩子小于父亲则交换父子位置，同时令父亲的下标变为此时的儿子所在下标，儿子所在下标变为自己的儿子所在的下标（向下递归）
Swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
//如果父亲小于等于左孩子就证明删除后形成的新堆是一个小堆，不再需要向下调整算法，循环结束
else
{
break;
}
}
}
堆的删除
//堆的删除
void HeapPop(HP* php)
{
assert(php);
assert(php->size > 0);
//这里并不采用惯用的顺序表头删的办法（向前覆盖），因为那样会引起堆的顺序被完全打乱的问题，我们在这里选择交换堆顶元素与堆尾元素然后再进行一次顺序表的尾删（直接size--即可）
Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
php->size--;
//在交换完并尾删完后，可能此时的堆并不能满足小堆的要求（堆顶元素比它的两个孩子都大），所以我们必须再次对堆进行调整，经过向下调整算法将堆恢复至小堆（由于是堆顶元素开始调整所以还需传入堆顶元素对应的下标0）
AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}每删除一个元素都需要进行一次向下调整的判断
获取堆顶元素
//获取堆顶元素
HPDataType HeapTop(HP* php)
{
assert(php);
//获取堆顶元素则堆里应该有元素，故首先要保证size不小于等于零
assert(php->size > 0);
//确定堆中有元素后返回a[0]即可
return php->a[0];
}
获取堆中元素个数
//获取堆中元素个数
size_t HeapSize(HP* php)
{
assert(php);
//判断size大于零后返回size大小即可
return php->size;
}
堆的判空
//堆的判空
bool HeapEmpty(HP* php)
{
assert(php);
//返回对php->size == 0的判断结果
return php->size == 0;
}最终代码
Heap.h文件
#include
#include
#include
#include
#pragma once
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
HPDataType* a; //指向存储元素的指针
int capacity; //当前顺序表容量
int size; //当前顺序表的长度
}HP;
//初始化堆
void HeapInit(HP* php);
//销毁堆
void HeapDestroy(HP* php);
//向上调整算法
void AdjustUP(HPDataType* a, int child);
//堆的插入
void HeapPush(HP* php,HPDataType x);
//向下调整算法
void AdjustDown(HPDataType* a, int child);
//堆的删除（删除堆顶的数据）
void HeapPop(HP* php);
//获取堆顶元素
HPDataType HeapTop(HP* php);
//获取堆中元素个数
size_t HeapSize(HP* php);
//堆的判空
bool HeapEmpty(HP* php); Heap.c文件
#include "Heap.h"
//初始化堆
void HeapInit(HP* php)
{
//检查堆的有效性
assert(php);
php->a = NULL;
php->size = 0;
php->capacity = 0;
}
//堆的销毁
void HeapDestroy(HP* php)
{
assert(php);
//释放a指针的内存空间并将a指针置为空
free(php->a);
php->a = NULL;
php->capacity = 0;
php->size = 0;
}
//交换父子位置
void Swap(HPDataType* p1,HPDataType* p2)
{
HPDataType* tmp = *p1;
*p1 = *p2;
*p2 = tmp;
}
//向上调整，此时传递过来的是最后一个孩子的元素下标我们用child表示
void AdjustUP(HPDataType* a,int child)
{
//由于我们要调整父亲与孩子的位置所以此时也需要父亲元素的下标，而0父亲元素的下标值 = （任意一个孩子的下标值-1）/ 2
int parent = (child - 1) / 2;
//当孩子等于0的时位于树顶（数组首元素的位置），树顶元素没有父亲，循环结束
while(child > 0)
{
//如果孩子还未到顶且它的下标对应的元素值小于它的父亲的下标对应的元素值，就将父子位置交换，交换玩后还要将下标对应的值“向上移动”
if (a[child] < a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
}
//由于这是一个小堆，所以当孩子大于等于父亲时不需要交换，直接退出循环即可
else
{
break;
}
}
}
//堆的插入
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
assert(php);
//扩容
if (php->size == php->capacity)
{
int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newCapacity * sizeof(HPDataType));
if (tmp == NULL)
{
perror("realloc error");
return -1;
}
php->a = tmp;
php->capacity = newCapacity;
}
php->a[php->size] = x;
php->size++;
//向上调整,从顺序表最后一个元素开始调整，该元素的下标为size-1
AdjustUP(php->a, php->size-1);
}
//向下调整算法
void AdjustDown(HPDataType* a, int size, int parent)
{
//根据之前的推论，左孩子的下标值为父亲下标值的两倍+1，左孩子的下标值为父亲下标值的两倍+2
int child = parent * 2 + 1;
//循环结束的条件是走到叶子结点
while (child < size)
{
//假设左孩子小，若假设失败则更新child，转换为有孩子小，同时保证child的下笔爱哦
if (child + 1< size && a[child + 1] < a[child])
{
++child;
}
if (a[child] < a[parent])
{
//如果此时满足孩子小于父亲则交换父子位置，同时令父亲的下标变为此时的儿子所在下标，儿子所在下标变为自己的儿子所在的下标（向下递归）
Swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
//如果父亲小于等于左孩子就证明删除后形成的新堆是一个小堆，不再需要向下调整算法，循环结束
else
{
break;
}
}
}
//堆的删除
void HeapPop(HP* php)
{
assert(php);
assert(php->size > 0);
//这里并不采用惯用的顺序表头删的办法（向前覆盖），因为那样会引起堆的顺序被完全打乱的问题，我们在这里选择交换堆顶元素与堆尾元素然后再进行一次顺序表的尾删（直接size--即可）
Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
php->size--;
//在交换完并尾删完后，可能此时的堆并不能满足小堆的要求（堆顶元素比它的两个孩子都大），所以我们必须再次对堆进行调整，经过向下调整算法将堆恢复至小堆（由于是堆顶元素开始调整所以还需传入堆顶元素对应的下标0）
AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}
//获取堆顶元素
HPDataType HeapTop(HP* php)
{
assert(php);
//获取堆顶元素则堆里应该有元素，故首先要保证size不小于等于零
assert(php->size > 0);
//确定堆中有元素后返回a[0]即可
return php->a[0];
}
//获取堆中元素个数
size_t HeapSize(HP* php)
{
assert(php);
//判断size大于零后返回size大小即可
return php->size;
}
//堆的判空
bool HeapEmpty(HP* php)
{
assert(php);
//返回对php->size == 0的判断结果
return php->size == 0;
}test.c文件
#include "Heap.h"
int main()
{
int arr[] = { 4,6,2,1,5,8,2,9 };
int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
HP hp;
HeapInit(&hp);
for (int i = 0;i < sz; ++i)
{
HeapPush(&hp,arr[i]);
}
//堆不为空就获取堆顶元素并删除
while (!HeapEmpty(&hp))
{
printf("%d ",HeapTop(&hp));
HeapPop(&hp);
}
printf("\n");
return 0;
}思考：堆的意义是什么？
1、堆排序
- 建堆：升序：建大堆、降序：建小堆
- 利用堆删除思想来进行排序：建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序
当一棵树为满二叉树时，高度h与结点总数N的关系是：h = log (N + 1)
当一棵树为完全二叉树时，高度h与结点总数N最坏的关系是：h = log N + 1
所以如果有一百万个结点，这棵树的高度仅仅为20，十亿个结点，高度仅仅为30
结论：使用堆可以更高效的维护数据的有序性，不需要对整个数据集进行排序
2、top k问题
问题描述：获取N个数里找最大的前K个数（N远大于K）
解决思路一：
N个数插入进大堆中，Pop K次
时间复杂度：N*logN + K*logN == O(N*logN)
但如果N为100亿（100亿个整数需要40GB左右的内存空间），K为10？
解决思路二：
1、取前K个值，建立K个数的小堆
2、再读取后面的值，跟堆顶元素比较，若大于堆顶元素，交换二者位置然后重新堆化成小堆
时间复杂度：O(N*logK)
注意事项：必须要建立小堆，不能建立大堆，因为
模拟实现：
使用数组[7, 8, 15, 4, 20, 23, 2, 50]演示如何使用最小堆找出前3个最大的元素。
首先，我们创建一个最小堆，并将数组的前3个元素[7, 8, 15]插入堆中，初始堆的表示如下：
7 / \ 8 15接下来遍历数组，发现 4 < 7，因此我们不做任何操作
继续遍历数组，发现 20 > 7，因此将 7 替换为 20 并重新堆化成小堆
8 / \ 20 15继续遍历数组，发现 23 大于 8，因此我们将 8 替换为 23 并重新堆化成小堆
15 / \ 20 23继续遍历数组，发现 2 < 15，因此我们不做任何操作
继续遍历数组，发现 50 > 15，因此我们将 15 替换为 50 并重新堆化成小堆
20 / \ 50 23最后，数组遍历完成，得到了最终的最小堆
20 / \ 50 23此时，堆中的前3个最大元素为 `[20, 50, 23]`，它们就是原数组中的前3个最大元素
~over~