Python | 数的进制及其位运算

本文总结如何对数字进行进制转换和位运算及其应用。

Last Modified: 2023 / 8 / 19

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进制

对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如:十进数57(10),可以用二进制表示为11001(2),也可以用五进制表示为212(5)，也可以用八进制表示为71(8)、用十六进制表示为39(16),它们所代表的数值都是一一样的。

二进制

计算机将各种信息存储为称为位的二进制数字流。无论您是处理文本、图像还是视频，它们都归结为 1 和 0。

Python 的按位运算符让您可以在最细粒度的级别上操作这些单独的数据位。您可以使用按位运算符来实现压缩、加密和错误检测等算法，以及控制Raspberry Pi 项目或其他地方的物理设备。通常，Python 将您与具有高级抽象的底层位隔离开来。在实践中，您更有可能发现按位运算符的重载风格。

十六进制

十六进制是计算机中数据的一种表示方法。它的规则是“逢十六进一”。

1个字节是

8位二进制数：

二进制8位：xxxxxxxx ，范围：00000000－11111111，表示0到255。

2位十六进制数：

一位16进制数（0-F），用二进制表示是xxxx，范围：0000 - 1111，表示：0到16。
16进制要表示1个字节，需要到255，此时就还需要第二位，0x3E。
所以1个字节＝2个16进制字符，一个16进制位＝0.5个字节。

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转换

python内部以十进制进行运算，即二进制，八进制，十六进制，全是str 类型，而十进制为 Int 类型。
在某些情况下，需要被处理的原始数据也未必是二进制，则此时需要进制转换，比如二进制数字0b110000000000011101001111000100, 等同于八进制数字0o6000351704,等同于十进制数字805426116, 等同于十六进制0x3001d3c4。

数据类型

数字

给定的数据类型可能为字符串类型，此时需要做转换以将其转换为便于计算的数字类型，即 字符串 -> 数字。

int

方法

• int(str)
• int(str, 8)
• int(str, 16)

但是没有```int(str, 2)

示例

int(12)
# 12

int('12', 16)
# 18
# 等同于将十六进制的 `0x12` 转换为十进制的 `18`

eval

eval() 函数用来执行一个字符串表达式，并返回表达式的值 ¹。

以下是 eval() 方法的语法:

eval(expression[, globals[, locals]])

参数	描述
expression	表达式。
globals	变量作用域，全局命名空间，如果被提供，则必须是一个字典对象。
locals	变量作用域，局部命名空间，如果被提供，可以是任何映射对象。

方法

• eval(f"{str:b}")
• eval(f"{str:o}")
• eval(f"{str:d}")
• eval(f"{str:x}")

示例

eval(f"{2:b}")
# 10
# int

eval(f"{10:o}")
# 12
# int

eval(f"{17:x}")
# 11
# int

字符串

在某些情境下可能需要输出字符串类型的数据。为什么没有16进制int转化为string，可以这么认为不管什么进制，python在内部表示都是10进制，先转化为10进制在进行。如16进制int转化为string，str(0x12)，首先变为str(18)，再到18。那么我想结果为’12’，怎么办？这其实就是10进制int转化为string，即hex(0x12)。

• 数字 --> 字符串
  bin()
oct()
str()
hex()

比如：

str(12)
>12
hex(18)
>0x12                    等同于将十进制18转换为十六进制的0x12

进制

原始输出

• X进制 --> 二进制
  bin()
• X进制 --> 八进制
  oct()
• X进制 --> 十进制
  int()
int（str, X)
• X进制 --> 十六进制
  hex()

比如：

int(0x3001d3c4)
>805426116
int('0x3001d3c4', 16)
>805426116

标准输出

• 仅数字
  bin().replace('0b', '')
oct().replace('0o', '')
hex().replace('0x', '')
• 固定输出位数
  '{:010b/o/x}'.format()

比如'{:032b}'.format(0x3001d3c4)

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码

原码、反码、补码

概念

• 原码
  存在于人的大脑里。
  是二进制的原始表示法。
• 反码
  存在于人的大脑里。
  二进制码0变1,1变0叫做反码。
  反码用于原码补码之间的转换
• 补码。
  在电脑中物理存在的只有补码。
  用来做数据的存储运算,可以实现计算机底层的减法操作,因而提出(可以表达出一个数的正负)，也就是说默认计算机只会做加法, 例:5+(-3) => 5 - 3
  乘法、除法是通过左移<<和右移>>来实现
  正数高位补0 负数高位补1。python中由于没有限制位数，所以高位的0和1是物理不存在的。
  
  

转换

• 正数:
  原码 = 反码 = 补码
• 负数：
  反码 = 原码取反（除高位）
  补码 = 反码加1
  反码 = 补码减1
  原码 = 反码取反（除高位）
  原码 = 补码取反加1
  补码 = 原码取反加1

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位运算

运算符

为了说明位运算运算符的运算规则，运算符及其子标题内容以A＝60＝0b 0011 1100和B＝13＝0b 0000 1101来举例。

运算符的计算优先级从高到低，依次为~、&、^、|

按位与运算符 &

• 语法：
  参与运算的两个值, 如果两个相应位都为1,则该位的结果为1, 否则为0。
• 举例：
  A & B = 0b 0011 1100 & 0b 0000 1101 = 0b 1100

0011 1100
0000 1101
0000 1100

按位或运算符 |

如果为负数，则按其补码形式参加按位或运算符 | 运算。

• 语法：
  参与运算的两个值, 只要两个相应的二进位有一个为1时，结果位就为1。
• 举例：
  A & B = 0b 0011 1100 | 0b 0000 1101 = 0b 11 1101

0011 1100
0000 1101
0011 1101

按位异或运算符 ^

• 语法：
  参与运算的两个值, 只要两个相应的二进位值不相同，则结果位为1，否则为0。
• 举例：
  A ^ B = 0b 0011 1100 ^ 0b 0000 1101 = 0b11 0001

0011 1100
0000 1101
    11 0001

按位取反运算符 ~

• 语法：
  对数据的每个二进制位取反,即把1变为0,把0变为1 。~x类似于-x-1
• 举例：
  ~A = -0b111101

0011 1100
1100 0011

左移动运算符 <<

• 语法：
  运算数的各二进位全部左移若干位，由<<右边的数字指定了移动的位数，高位丢弃，低位补0。
• 举例：
  A << 2 = 0b 1111 0000

0011 1100
1111 0000

右移动运算符 >>

• 语法：
  把>>左边的运算数的各二进位全部右移若干位，>>右边的数字指定了移动的位数。
• 举例：
  A >> 2 = 0b 1111

0011 1100
1111

应用

按位与运算符 &

为了介绍按位与运算符 &的应用，此处及其子标题以0x3001d3c4来举例。

清零

快速对某一段数据单元的数据清零，即将其全部的二进制位为0，则只要与一个各位都为零的数值相与那么结果为零。。

• 清零所有bit
  0x3001d3c4 & 0x0 = 0x0

提取指定位数

获得指定位数的数字。方法为，找一个数，对应X要取的位，该数的对应位为1，其余位为零，此数与X进行“与运算”可以得到X中的指定位。
0x3001d3c4为十六进制，通过十六进制>>二进制部分的方法使用hex(input).replace('0x', '')拿到其数字位数为8。
1位十六进制数字相对应4位二进制数字。
即0x3001d3c4若转换为二进制应该为32位。

• 获得bit [20:0]
  0x3001d3c4 & 0xfffff = 0x1d3c4
  bit [20:0]为低位20位, 相当于0b 1111 1111 1111 1111, 又或者0x FFFF。
  
• 获得bit [4:0]
  0x3001d3c4 & 0xf = 0x4
  bit [4:0]为低位4位，相当于0b 1111，又或者0xF

保留最后一个1

保留最后一个1到最低位的数字
～ 0x3001d3c4 & 0x3001d3c4 = 0

• 保留最后一个1
  - 0x3001d3c4 & 0x3001d3c4 = 0x4
  相当于0b100

判断奇偶性

与 1 做 & 运算，相当于仅保留最后一位bit数字。

在计算机中，位与的符号是 &，运算过程是 false & false = false，true & false = false，true & true = true，故任何一个数 & 1 的结果有 ²：

• 0 & 1 = 0
• 1 & 1 = 1
• 2 & 1 = 0
• 3 & 1 = 1
  …
• 1234 & 1 = 0
• 4321 & 1 = 1

奇数的二进制表示的末位为 1，偶数末位为 0。故可以通过运算结果来判断给定数字的奇偶性。

下面，我们分析几个例子。3 和 987 都是十进制数：
3 & 1 在计算过程是：

11
01
---
01

所以 3 & 1 = 1

987 & 1 在计算过程是：

1111011011
0000000001
----------------
0000000001

所以 987 & 1 = 1

实例

1. 比如在数据库中，获取所有奇数的 id，就可以直接：

select id from mytable where id & 1

2. 在编程中判断一个数是否为奇数：

int number = 789;
if (number & 1){
	print("此数为奇数")
} else {
	print("此数为偶数")
}

按位或运算符 |

为了介绍按位或运算符 |的应用，此处及其子标题以0x3001d3c4来举例。

使指定位数置1

找到一个数，对应X要置1的位，该数的对应位为1，其余位为零。此数与X相或可使X中的某些位置1。

• 翻转bit [7:0]
  0x3001d3c4 | 0xff = 0x3001d3ff
  bit [7:0]为低位8位, 相当于0b 1111 1111, 又或者0x FF。

按位异或运算符 ^

为了介绍按位异或运算符 ^的应用，此处及其子标题以0x3001d3c4来举例。

翻转指定位数

使特定位翻转 找一个数，对应X要翻转的各位，该数的对应位为1，其余位为零，此数与X对应位异或即可。

• 翻转bit [11:0]
  0x3001d3c4 ^ 0xfff = 0x3001dc3b
  bit [11:0]为低位12位, 相当于0b 1111 1111 1111, 又或者0x FFF。
• 翻转所有bit
  0x3001d3c4 ^ 0xffffffff = 0xcffe2c3b

保留原值

• 保留所有bit
  0x3001d3c4 ^ 0x00000000 = 0x3001d3c4

交换a和b

x = x ^ y   
y = x ^ y  
x = x ^ y  

按位取反运算符 ~

为了介绍按位取反运算符 ~ 的应用，此处及其子标题以0xd3c5来举例。

使最后一位置0

~1的值为1111111111111110，再按&运算，最低位一定为0。
因为“~”运算符的优先级比算术运算符、关系运算符、逻辑运算符和其他运算符都高。

• 使最后一位置0
  0xd3c5 & ~1 = 0xd3c4

左移动运算符 <<

为了介绍左移动运算符 <<的应用，此处及其子标题以0xd3c4来举例。

• 翻倍
  (0xd3c4 << 0x1) // 0xd3c4 = 0x2

右移动运算符 >>

为了介绍右移动运算符 >>的应用，此处及其子标题以0x3001d3c4来举例。

• 减半
  0xd3c4 // (0xd3c4 >> 1) = 0x2

总结

使用0和1来简单总结运算符的语法。

1 & 1 = 1， 1 | 1 = 1， 1 ^ 1 = 0

1 & 0 = 0， 1 | 0 = 1， 1 ^ 0 = 1

0 & 1 = 0， 0 | 1 = 1， 0 ^ 1 = 1

0 & 0 = 0， 0 | 0 = 0， 0 ^ 0 = 0

• &: 有0则0
• |: 有1则1
• ^: 同0异1
• ~: 前0后1, 前1后0
• <<: 左1位乘2
• >>: 右1位除2

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参考链接

写本文时有参考以下链接

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【技巧总结】位运算装逼指南
leetcode—-位运算（python）

进制

二进制

Python 中的按位运算符 |【生长吧！Python!】

十六进制

字节、bit、16进制

转换

Python 二进制，十进制，十六进制转换
Python int与string之间的转化

位运算

位运算与数的二进制 ( python, 位运算I )
按位与、或、非、异或总结
Python 位操作（Bitwise Operation） 详解
Python获取数字的二进制值

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1. Python eval() 函数 ↩︎

2. 位与：一个数&1的结果 ↩︎