数字电路笔记02：逻辑代数基础
一、逻辑代数运算
1. 基本逻辑运算
（1）逻辑与
| A | B | Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
只有当决定一件事情的所有条件都全部具备时，这件事情才会发生。
逻辑与符号：
（2）逻辑或
| A | B | Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
在决定一件事的各条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事就会发生。
（3）逻辑非
| A | Y |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
当条件不具备时，事情才会发生。
2. 复合逻辑运算
逻辑运算的优先顺序：圆括号>非运算>与运算>或运算
3. 逻辑电平
正逻辑：规定高电平为逻辑1，低电平为逻辑0
负逻辑：规定低电平为逻辑0，高电平为逻辑1
4. 逻辑代数的公理
5. 逻辑代数的基本公式
01律、重叠律、互补律、还原律、交换律、结合律
分配律
反演律
6. 逻辑代数的基本定理
（1）代入定理
在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中的所有A的位置，则等式依然成立。
（2）反演定理
将函数Y式中所有的与和或逻辑互换；0和1互换；原变量换成反变量；反变量换成原变量，则所得到的表达式是Y非的表达式。
（3）对偶定理
若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。
一个逻辑式的对偶式定义为：将函数Y式中所有的与和或逻辑互换；0和1互换；变量保持不变，原表达式中的运算优先顺序保持不变，则所得到的表达式是Y的对偶式。
7. 异或代数
（1）异或逻辑
| A | B | Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
A、B变量取值相异时，函数值为1；A、B变量取值相同时，函数值为0
（2）同或逻辑
A、B变量取值相同时，函数值为1；A、B变量取值相异时，函数值为0
| A | B | Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
二、逻辑函数的表示和标准形式
1. 逻辑函数的表示方法
逻辑函数表达式、真值表、卡诺图、逻辑图、波形图
由真值表写出逻辑表达式：
（1）找出使逻辑函数Y为1的变量取值组合；
（2）每个使函数Y为1的变量取值组合对应一个乘积项，其中取值为1的写入原变量，取值为0的写入反变量；
（3）将这些乘积项相或，即得到Y的逻辑表达式。
2. 逻辑函数的两种标准形式
（1）函数的最小项及其性质
最小项：在一个有n个变量的逻辑函数中，包含全部n个变量的乘积项称为最小项。其中，每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次。
| 最小项 | A | B | C | 十进制 | 编号 |
|---|---|---|---|---|---|
 |
0 | 0 | 0 | 0 |  |
 |
0 | 0 | 1 | 1 |  |
 |
0 | 1 | 0 | 2 |  |
 |
0 | 1 | 1 | 3 |  |
 |
1 | 0 | 0 | 4 |  |
 |
1 | 0 | 1 | 5 |  |
 |
1 | 1 | 0 | 6 |  |
 |
1 | 1 | 1 | 7 |  |
（1）每一个最小项与变量的一组取值相对应，只有改组取值才使其为1
（2）全体最小项之和恒为1
（3）任意两个不同的最小项的乘积恒为0
标准与或表达式：每个与项都是最小项的与或表达式，称为标准与或表达式。
（2）函数的最大项及其性质
最大项：在一个有n个变量的逻辑函数中，包含全部n个变量的和项称为最大项，其中每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次。
| 最大项 | A | B | C | 十进制 | 编号 |
|---|---|---|---|---|---|
 |
0 | 0 | 0 | 0 |  |
 |
0 | 0 | 1 | 1 |  |
 |
0 | 1 | 0 | 2 |  |
 |
0 | 1 | 1 | 3 |  |
 |
1 | 0 | 0 | 4 |  |
 |
1 | 0 | 1 | 5 |  |
 |
1 | 1 | 0 | 6 |  |
 |
1 | 1 | 1 | 7 |  |
（1）每一个最大项与变量的一组取值相对应，即只有这一组取值才使得该最大项为零
（2）全体最大项之积恒为零
（3）任意两个不同的最大项之和恒为1
（4）最大项和最小项之间的关系
标准或与表达式：每一个或项都是最大项的或与表达式称为标准或与表达式。
三、逻辑函数的化简
1. 公式法化简
根据逻辑代数的公理、定律、定理、公式等，消去逻辑函数式中多余的乘积项和多余的因子，进行化简。
2. 卡诺图法化简逻辑函数
写出
的卡诺图
| AB CD | 00 | 01 | 11 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| 00 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 01 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 11 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 10 | 1 | 1 | 1 | 1 |
最小项卡诺图逻辑化简规则
规则1：卡诺图中两个相邻的1的最小项可以合并成一个与项，并消去一个变量。
规则2：卡诺图中四个相邻的1的最小项可以合并成一个与项，并消去两个变量。
规则3：卡诺图中八个相邻的1的最小项可以合并成一个与项，并消去三个变量。
5个原则：
（1）1不能被漏圈
（2）1允许被一个以上的圈所包围
（3）圈的个数尽可能少
（4）圈的面积尽可能大
（5）每个圈至少应包含一个新的1
| AB CD | 00 | 01 | 11 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| 00 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 01 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 11 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 10 | 0 | 1 | 1 | 1 |
用卡诺图化简法求最简或与表达式——合并反函数的最小项
无关项：输入逻辑变量的某些取值组合禁止出现或者一些取值组合出现时，输出逻辑值可以是任意的。在卡诺图的方格中，常使用符合X表示。
合理利用无关项，一般可得到更加简单的化简结果。在卡诺图中，无关项X可以被看作1也可以被看作0。
3. 逻辑函数形式的转换
（1）与或——>与非-与非
将与或表达式两次求反，再使用德摩根公式。
（2）与或——>与或非
先求其反函数的最简与或表达式（卡诺图），再求反
（3）与或——>或非-或非
作出原函数卡诺图，用合并0格的方法先求出其反函数的最简与或表达式；对所得与或表达式求反得到原函数的最简或与表达式；两次求反，利用德摩根公式，可得到原函数的或非-或非表达式。