动态规划系列 | 状态机模型（下）| IndeedTokyo2019校招笔试题

1052. 设计密码

题目描述

原题链接

你现在需要设计一个密码 S，S 需要满足：

• S 的长度是 N；
• S 只包含小写英文字母；
• S 不包含子串 T；

例如：abc 和 abcde 是 abcde 的子串，abd 不是 abcde 的子串。

请问共有多少种不同的密码满足要求？

由于答案会非常大，请输出答案模 $10^9+7$ 的余数。

输入格式

第一行输入整数 N，表示密码的长度。

第二行输入字符串 T，T 中只包含小写字母。

输出格式

输出一个正整数，表示总方案数模 $10^9+7$ 后的结果。

数据范围

$1\le N\le 50$
$1\le |T|\le N$，$|T|$ 是 T 的长度。

样例

输入样例 1

2
a

输出样例 1

625

输入样例 2

4
cbc

输出样例 2

456924

问题分析

状态定义：dp[i][j]：密码长度为i，其后缀与模式串匹配的最大长度为j 的方案总数。

状态转移：借助 KMP 算法的 next 数组实现。若当前密码长度为 i-1，处于状态 j。在当前密码后面加上一个字符c，使得新的密码长度为i。密码由长度为i-1变为i，需要重新计算当前的所处状态。使用 KMP 算法更新新密码的后缀与模式串匹配的最大长度，记为ptr。此时dp[i][ptr]可以由dp[i-1][j]转移过来，密码长度为i，处于状态ptr的总方案数需要加上dp[i-1][j]。

初始状态：dp[0][0]，即密码为空，且处于状态 0，即后缀与模式串匹配的最大长度为 0 的方案总数为 1.

第 i 轮的部分状态转移示意图如下，其中节点中的数字j表示结点的状态，即密码长度为i时，密码后缀与模式串匹配的最大长度为j。

最终的结果值：${\sum }_{i=0}^{m-1}dp[n][i]$，即对所有密码长度为 n，且状态不处于m的所有方案总数进行求和。

注意：状态转移过程中，不计算状态 m 的方案数，这样最终的总方案数将不包括 S 包含子串 T 的情况。

复杂度分析

时间复杂度：$O(26N^3)$

程序代码

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int MOD = 1e9+7;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    string t;
    cin >> t;
    int m = t.size();
    // 让子串下标从1开始
    t = " " + t;
    
    vector<int> next(m + 1, 0);
    // 计算next数组
    for(int i = 2, j = 0; i < t.size(); i++) {
        while( j && t[i] != t[j+1] ) {
            j = next[j];
        }
        if( t[i] == t[j+1] )  j++;
        next[i] = j;
    }
    
    vector<vector<int>> dp(n+1, vector<int>(m+1, 0));
    dp[0][0] = 1;  // 初始化
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 0; j < m; j++) {
            for(char c = 'a'; c <= 'z'; c++) {
                int ptr = j;
                while( ptr && c != t[ptr+1] ) {
                    ptr = next[ptr];
                }
                if( c == t[ptr+1] )  ptr++;
                if( ptr < m )  dp[i][ptr] = (dp[i][ptr] + dp[i-1][j]) % MOD;
            }
        }
    }
    
    int res = 0;
    for(int i = 0; i < m; i++) {
        res = (res + dp[n][i]) % MOD;
    }
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}