[笔记] 错排问题 #错排

参考：刷题笔记-错排问题总结

错排问题定义：

一个n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的一个排列就称为原排列的一个错排。而研究一个排列的错排个数的问题，就称为错排问题（或称为更列问题）。

错排公式：

D[1]=0;
D[2]=1;
D[n] = (n-1)(D[n - 1] + D[n - 2])

公式推导：

补充设定：
x -- y的含义：第x个元素分到了第y个元素的位置上。
对于第i个元素，若不在自己的位置上，则有n - 1个选择，取其中1个分析，有2种情况：

1. 若i -- k 且k -- i（互换位置），那么将这两个组合剔除，
   剩下的n - 2个元素将继续进行错位排序，共D[n - 2]种方案。
2. 若i -- k，但k !- i，那么我们将i -- k这个组合剔除，
   剩下的这n - 1个元素继续进行错位排序，共D[n - 1]种方案。
   补充说明：将第k个位置与i重新进行配对。因为每个元素不能放在自己对应的位置上，k !- i满足这个条件。