数学杂谈：残次品的无砝码天平定位问题
- 数学杂谈：残次品的无砝码天平定位问题
- 1. 问题描述
- 2. 问题解答
- 3. 问题拓展
- 1. 引理1
- 2. 引理2
- 3. 引理3
- 4. 推论1
- 5. 推论2
1. 问题描述
给出问题如下：
12个乒乓球，有一个次品，不知轻重，用一台无砝码天平称三次，找出次品，告知轻重?
这个题目是我在票圈偶然看到的，号称是清北智商线。
emmmm，虽然我是没考上清北啦，不过这个题还是可以玩玩的（手动狗头）……
2. 问题解答
首先，我们将12个小球分为3份，每份均为4个，分别记作 { a 1 , ⋯ , a 4 } \{a_1, \cdots, a_4\} {a1,⋯,a4}, { b 1 , ⋯ , b 4 } \{b_1, \cdots, b_4\} {b1,⋯,b4}， { c 1 ⋯ c 4 } \{c_1 \cdots c_4\} {c1⋯c4}。
然后，我们取前两组进行称重：
- 左侧： { a 1 , ⋯ , a 4 } \{a_1, \cdots, a_4\} {a1,⋯,a4}
- 右侧： { b 1 , ⋯ , b 4 } \{b_1, \cdots, b_4\} {b1,⋯,b4}
然后任取两组进行第一次天平测量。
下面，我们进行分类讨论：
-
两堆小球重量一样
此时，有问题的小球必然在第三堆当中，记 { c 1 ⋯ c 4 } \{c_1 \cdots c_4\} {c1⋯c4}，而 A , B A,B A,B两堆小球必然均为好球。
然后，我们进行第二次测量：
- 左侧： c 1 , c 2 c_1, c_2 c1,c2
- 右侧： c 3 , a 1 c_3, a_1 c3,a1
此时有三种情况：
-
左侧重
此时，只有两种可能性：
- c 1 , c 2 c_1, c_2 c1,c2当中有一个次品，且偏重
- c 3 c_3 c3为次品，且偏轻
因此，我们进行第三次测量：
- 左侧： c 1 + c 3 c_1 + c_3 c1+c3
- 右侧： a 1 + a 2 a_1 + a_2 a1+a2
此时，有三种情况：
- 左侧轻
- c 3 c_3 c3为次品，且偏轻
- 左侧重
- c 1 c_1 c1为次品，且偏重
- 一样重
- c 2 c_2 c2为次品，且偏重
-
左侧轻
左侧轻与左侧重的情况完全一样，只是结论相反，即：
- c 1 , c 2 c_1, c_2 c1,c2当中有一个次品，且偏轻
- c 3 c_3 c3为次品，且偏重
同样，我们进行第三次测量：
- 左侧： c 1 + c 3 c_1 + c_3 c1+c3
- 右侧： a 1 + a 2 a_1 + a_2 a1+a2
此时，有三种情况：
- 左侧轻
- c 1 c_1 c1为次品，且偏轻
- 左侧重
- c 3 c_3 c3为次品，且偏重
- 一样重
- c 2 c_2 c2为次品，且偏轻
-
一样重
此时次品一定是 c 4 c_4 c4,我们只需要对其确定轻重即可，因此我们只需要将其与任意一个好球，比如说 a 1 a_1 a1，进行比较即可：
- 若 c 4 > a 1 c_4 > a_1 c4>a1，则偏重；
- 若 c 4 < a 1 c_4 < a_1 c4<a1，则偏轻；
-
两堆小球重量不一样
此时，显然 C C C堆一定都是好的，而由于我们不确定次品是偏重还是偏轻，因此我们不确定 A A A堆和 B B B堆哪一堆有问题。不妨设 A A A堆为较轻的一堆，而 B B B堆为较重的一堆，那么只可能有以下两种情况：
- A A A堆当中有一个球为次品，且偏轻；
- B B B堆当中有一个球为次品，且偏重；
此时，我们进行第二次称重：
- 左侧： { a 1 , a 2 , b 1 , b 2 } \{a_1, a_2, b_1, b_2\} {a1,a2,b1,b2}
- 右侧： { a 3 , c 1 , c 2 , c 3 } \{a_3, c_1, c_2, c_3\} {a3,c1,c2,c3}
此时有三种情况：
-
一样重： a 1 + a 2 + b 1 + b 2 = a 3 + c 1 + c 2 + c 3 a_1 + a_2 + b_1 + b_2 = a_3 + c_1 + c_2 + c_3 a1+a2+b1+b2=a3+c1+c2+c3
此时有问题的一定在剩余的 a 4 , b 3 , b 4 {a_4, b_3, b_4} a4,b3,b4当中，我们取如下小球进行第三次称重：
- 左侧： a 4 , b 3 a_4, b_3 a4,b3
- 右侧： c 1 , c 2 c_1, c_2 c1,c2
此时，有三种情况：
- 左侧轻
- a 4 a_4 a4小球为次品，偏轻；
- 左侧重
- b 3 b_3 b3小球为次品，偏重；
- 两边一样重
- b 4 b_4 b4小球为次品，偏重；
-
左侧重： a 1 + a 2 + b 1 + b 2 > a 3 + c 1 + c 2 + c 3 a_1 + a_2 + b_1 + b_2 > a_3 + c_1 + c_2 + c_3 a1+a2+b1+b2>a3+c1+c2+c3
此时要么次品在左侧的 b 1 , b 2 b_1, b_2 b1,b2当中，要么次品为 a 3 a_3 a3。
我们同样取 a 3 , b 1 a_3, b_1 a3,b1与 c 1 , c 2 c_1, c_2 c1,c2进行第三次测量，有如下三种情况：
- a 3 + b 1 > c 1 + c 2 a_3 + b_1 > c_1 + c_2 a3+b1>c1+c2
- b 1 b_1 b1小球为次品，偏重
- a 3 + b 1 < c 1 + c 2 a_3 + b_1 < c_1 + c_2 a3+b1<c1+c2
- a 3 a_3 a3小球为次品，偏轻
- a 3 + b 1 = c 1 + c 2 a_3 + b_1 = c_1 + c_2 a3+b1=c1+c2
- b 2 b_2 b2小球为次品，偏轻
- a 3 + b 1 > c 1 + c 2 a_3 + b_1 > c_1 + c_2 a3+b1>c1+c2
-
左侧轻： a 1 + a 2 + b 1 + b 2 < a 3 + c 1 + c 2 + c 3 a_1 + a_2 + b_1 + b_2 < a_3 + c_1 + c_2 + c_3 a1+a2+b1+b2<a3+c1+c2+c3
此时次品必然在左侧的 a 1 , a 2 a_1, a_2 a1,a2小球当中，且次品必然偏轻，因此我们直接将他们放到天平两侧进行测量即可，两者当中较轻的小球即为次品。
综上，问题完成。
3. 问题拓展
事实上，上述问题可以进一步推广到更一般的情况：
推论1
已知 3 n − 3 2 \frac{3^n-3}{2} 23n−3个小球当中有且仅有一个次品小球，但次品小球与良品小球的重量关系未知。
现给定一个无砝码天平，则我们可以通过 n n n次称重来准确找到其中的次品小球，并判断其与良品小球的重量关系。
特别的，如果事先给出一个良品小球，那么上述推论可以进一步放宽到：
推论2
已知 3 n − 1 2 \frac{3^n-1}{2} 23n−1个小球当中有且仅有一个次品小球，但次品小球与良品小球的重量关系未知。
现给定一个无砝码天平与一个确定的良品小球，则我们可以通过 n n n次称重来准确找到其中的次品小球，并判断其与良品小球的重量关系。
要说明这两个问题，我们需要用到下面三个较弱的引理。
引理1
已知 3 n 3^n 3n个小球当中存在一个次品小球，且重量偏向已知，那么给定一个无砝码天平，我们必然可以在 n n n次称重之后准确地找到这个次品小球。
引理2
给定两堆存在次品的小球 A , B A,B A,B，他们各自均包含 3 n − 1 2 \frac{3^n-1}{2} 23n−1个小球。
已知 A A A堆小球重于 B B B堆小球，且他们之中有且仅有一个次品小球，但不知道是偏轻还是偏重。
此外，我们还有若干个良品小球，且个数不少于 3 n − 1 3^{n-1} 3n−1个。
现给出一个无砝码天平，则在 n n n次称重后，必然可以从这两堆小球当中定位到唯一的一个次品小球，并判断其轻重关系。
引理3
给定两堆小球 A , B A,B A,B，他们分别包含 3 n + 1 2 \frac{3^n+1}{2} 23n+1个小球和 3 n − 1 2 \frac{3^n-1}{2} 23n−1个小球。
且两堆小球当中有且仅有一个次品小球，次品小球的重量关系未知。
此外，我们还有若干个良品小球，且个数不少于 3 n − 1 + 1 3^{n-1}+1 3n−1+1个。
已知 A A A堆小球的重量和 B B B堆小球加一个良品小球的重量不相同，但是重量关系已知（不妨设为 A A A堆小球较重）。
现给出一个无砝码天平，则在 n n n次称重后，必然可以从这两堆小球当中定位到唯一的一个次品小球，并判断其轻重关系。
下面，我们逐次来说明这三个引理和两个推论。
1. 引理1
首先，我们重新给出引理1的具体描述如下：
引理1
已知 3 n 3^n 3n个小球当中存在一个次品小球，且重量偏向已知，那么给定一个无砝码天平，我们必然可以在 n n n次称重之后准确地找到这个次品小球。
这个结论其实是比较显然的，不过为求严谨，我们用数学归纳法进行一下证明：
首先，由于次品小球的重量偏向已知，我们不妨设次品小球比良品小球要重一些。
此时，我们考察当 n = 1 n=1 n=1的情况。
这个是比较显然的，我们任取两个小球放到天平两侧，此时：
- 如果天平不平衡，那么其中较重的一个小球就是次品；
- 如果天平平衡，那么剩下的第三个小球就是次品。
然后，我们假设 n ≤ k n \leq k n≤k的情况下都满足上述引理，我们考察 n = k + 1 n = k+1 n=k+1时的情况。
此时，我们将小球均分为3组，则每组都有 3 k 3^k 3k个小球，然后我们任取两堆放到天平两侧，则有如下两种情况：
- 如果天平不平衡，那么其中较重的一组小球当中包含次品；
- 如果天平平衡，那么剩下的第三组小球当中包含次品。
此时，我们就退回到了 n = k n=k n=k时的情况，由此 n = k + 1 n=k+1 n=k+1的情况下同样可以满足。
综上，引理1证毕。
事实上，这个引理可以进一步推广到：
推论
那么给定一个无砝码天平，我们总可以在 n n n次称重之后从不超过 3 n 3^n 3n个小球当中准确地找到其中唯一的一个轻重关系已知的次品小球。
这个引理的证明和上面没啥差别，这里就不展开赘述了，有兴趣的读者可以自行考虑一下。
2. 引理2
首先，我们重新给出引理2的具体描述如下：
引理2
给定两堆存在次品的小球 A , B A,B A,B，他们各自均包含 3 n − 1 2 \frac{3^n-1}{2} 23n−1个小球。
已知 A A A堆小球重于 B B B堆小球，且他们之中有且仅有一个次品小球，但不知道是偏轻还是偏重。
此外，我们还有若干个良品小球，且个数不少于 3 n − 1 3^{n-1} 3n−1个。
现给出一个无砝码天平，则在 n n n次称重后，必然可以从这两堆小球当中定位到唯一的一个次品小球，并判断其轻重关系。
我们使用归纳法对这个问题进行处理。
首先，考虑当 n = 1 n=1 n=1的情况，此时， A , B A,B A,B两堆小球均为1个，另有1个良品小球。
此时，我们令天平两侧分别为：
- 左侧：小球 A A A
- 右侧：良品小球
此时有两种情况：
- 左侧较重
- 小球 A A A为次品，且偏重
- 两侧一样重
- 小球 B B B为次品，且偏轻
下面，我们假设 n ≤ k n \leq k n≤k时引理成立，考察 n = k + 1 n=k+1 n=k+1时的情形。
此时， A , B , C A,B,C A,B,C三堆小球各自含有 3 k + 1 − 1 2 \frac{3^{k+1}-1}{2} 23k+1−1个小球，且有至少
我们令天平两侧分别为：
- 左侧： 3 k 3^{k} 3k个 A A A组中的小球 + 3 k − 1 2 \frac{3^k-1}{2} 23k−1个 B B B组中的小球
- 右侧： 3 k 3^{k} 3k个良品小球 + 3 k − 1 2 \frac{3^k-1}{2} 23k−1个 A A A组中的小球
此时，我们剩余 3 k 3^{k} 3k个 B B B组中的小球在天平之外。
我们可能有以下三种称重结果：
- 左侧较轻
- 此时，有问题的小球必然在左侧的 3 k − 1 2 \frac{3^k-1}{2} 23k−1个 B B B组中的小球或者右侧的 3 k − 1 2 \frac{3^k-1}{2} 23k−1个 A A A组中的小球当中。此时问题退回到了 n = k n=k n=k时的情况，因此这种情况下问题得以解决。
- 左侧较重
- 此时，有问题的小球必然在左侧的 3 k 3^{k} 3k个 A A A组中的小球当中，且次品小球较重。由上述引理1，问题得解。
- 两侧一样重
- 此时，有问题的小球必然在未称重的剩余 3 k 3^{k} 3k个 B B B组中的小球当中，且次品小球较轻。同样由上述引理1，问题得解。
因此， n = k + 1 n=k+1 n=k+1时，命题同样成立。
综上，引理2证毕。
3. 引理3
同样的，我们将引理3的具体内容重新记录在下面：
引理3
给定两堆小球 A , B A,B A,B，他们分别包含 3 n + 1 2 \frac{3^n+1}{2} 23n+1个小球和 3 n − 1 2 \frac{3^n-1}{2} 23n−1个小球。
且两堆小球当中有且仅有一个次品小球，次品小球的重量关系未知。
此外，我们还有若干个良品小球，且个数不少于 3 n − 1 + 1 3^{n-1}+1 3n−1+1个。
已知 A A A堆小球的重量和 B B B堆小球加一个良品小球的重量不相同，但是重量关系已知（不妨设为 A A A堆小球较重）。
现给出一个无砝码天平，则在 n n n次称重后，必然可以从这两堆小球当中定位到唯一的一个次品小球，并判断其轻重关系。
关于这个引理的证明方法和上述引理2的证明方法完全一致。
我们同样采用数学归纳法对这个问题进行处理。
首先，我们考虑 n = 1 n=1 n=1的情形，此时 A A A堆小球有2个， B B B堆小球有1个，另有至少2个良品小球，且已知 A A A堆小球的重量大于 B B B堆小球加上1个良品小球的重量。
此时，我们进行如下称量：
- 天平左侧：1个 A A A堆小球 + 1个 B B B堆小球
- 天平右侧：2个良品小球
此时，有三种可能的结果：
- 天平左侧重
- 次品小球为天平左侧的 A A A堆小球，且偏重
- 天平左侧轻
- 次品小球为天平左侧的 B B B堆小球，且偏轻
- 天平平衡
- 次品小球为剩余的一个 A A A堆小球，且偏重
下面，我们假设 n ≤ k n \leq k n≤k时上述命题都成立，考察 n = k + 1 n=k+1 n=k+1时的情形。
我们进行如下称量：
- 天平左侧： 3 k + 1 2 \frac{3^k+1}{2} 23k+1个 A A A堆中的小球 + 3 k 3^k 3k个 B B B堆中的小球
- 天平右侧： 3 k − 1 2 \frac{3^k-1}{2} 23k−1个 B B B堆中的小球 + 3 k + 1 3^k+1 3k+1个良品小球
此时，对于称量可能出现的三种情况，有：
- 天平左侧重
- 次品小球必然在天平左侧的 3 k + 1 2 \frac{3^k+1}{2} 23k+1个 A A A堆中的小球或者天平右侧的 3 k − 1 2 \frac{3^k-1}{2} 23k−1个 B B B堆中的小球当中。由之前的归纳总结，我们可以在剩余的 k k k次称量之后找到其中的次品小球并判断其轻重情况；
- 天平左侧轻
- 次品小球必然在左侧的 3 k 3^k 3k个 B B B堆中的小球当中，且次品小球偏轻。我们由前述引理1可知，能够在剩余的 k k k次称量之后准确找到其中的次品小球。
- 天平平衡
- 次品小球必然在剩余的的 3 k 3^k 3k个 A A A堆中的小球当中，且次品小球偏重。我们由前述引理1可知，能够在剩余的 k k k次称量之后准确找到其中的次品小球。
因此， n = k + 1 n=k+1 n=k+1的情况得证。
综上，引理3证毕。
4. 推论1
下面，我们来看一下推论一的证明。
同样的，我们首先回顾一下推论1的细节描述：
推论1
已知 3 n − 3 2 \frac{3^n-3}{2} 23n−3个小球当中有且仅有一个次品小球，但次品小球与良品小球的重量关系未知。
现给定一个无砝码天平，则我们可以通过 n n n次称重来准确找到其中的次品小球，并判断其与良品小球的重量关系。
此时，我们将小球均分为三堆，则每堆小球都有 3 n − 1 − 1 2 \frac{3^{n-1}-1}{2} 23n−1−1个小球。
然后，我们任取两堆放到天平的两侧进行称重，能够有以下两种情况：
- 天平不平衡
- 此时，次品小球必然在这两堆小球当中，且两者重量关系已知。由上述引理2，我们能够从中找出次品小球，问题得解。
- 天平平衡
- 此时，次品小球必然在剩下的 3 n − 1 − 1 2 \frac{3^{n-1}-1}{2} 23n−1−1，且天平上的所有小球都是已知的良品小球，因此，由前述提到的推论2中的结论，这个问题也同样是可解的。
综上，只要下面我们说明了推论2中的情况，那么推论1也就完整证毕了。
5. 推论2
最后，我们来看一下推论2的解法。
同样的，我们先重新给出一下推论2的具体描述：
推论2
已知 3 n − 1 2 \frac{3^n-1}{2} 23n−1个小球当中有且仅有一个次品小球，但次品小球与良品小球的重量关系未知。
现给定一个无砝码天平与一个确定的良品小球，则我们可以通过 n n n次称重来准确找到其中的次品小球，并判断其与良品小球的重量关系。
这里，我们同样使用归纳法对这个推论进行解答。
首先，对于 n = 1 n=1 n=1的情况，这个是显然的，因为我们有一个次品小球和一个良品小球，因此我们只需要一次测量就能够判断其与良品小球的重量关系。
下面，我们假设 n ≤ k n \leq k n≤k时命题都成立，考察 n = k + 1 n = k+1 n=k+1时的情况。
我们按照如下方式进行第一次天平测量：
- 天平左侧：取 3 k + 1 2 \frac{3^k+1}{2} 23k+1个小球
- 天平右侧：取 3 k − 1 2 \frac{3^k-1}{2} 23k−1个小球 + 一个良品小球
此时，我们有如下两种情况：
- 天平不平衡
- 此时，剩余的 3 k − 1 2 \frac{3^k-1}{2} 23k−1个小球必均为良品，因此，由上述引理3，我们可以证明在 k k k称重后我们一定可以找到其中的次品小球，并确定其与良品小球对应的重量关系。
- 天平平衡
- 此时，次品小球必然在剩余的 3 k − 1 2 \frac{3^k-1}{2} 23k−1个小球当中，由之前的归纳结果，我们已知其可以在 k k k次称重后找到其中的次品小球，并确定其与良品小球对应的重量关系。
因此， n = k + 1 n=k+1 n=k+1时命题同样成立。
综上，推论2证毕。