[Notes] IQ不平衡数字域校准方案

参考文档：宽带零中频收发机I_Q不平衡数字域校准方案的研究与实现_杨润光
https://blog.csdn.net/weixin_44586473/article/details/104066625 通信原理 入坑之路】—— 详解IQ调制以及星座图原理

大部分公式纯手打

概述

  目前，主流的射频收发机主要有超外差收发机与零中频收发机两种结构。超外差结构是无线通信收发机中使用最为广泛的一种结构，传统的超外差结构是当前最成熟的一种结构，采用恰当的设计可以到较好的收发性能。超外差接收机具有较大的动态范围，以及比较高的邻道选择性和接收灵敏度，并且超外差结构受到IIQ信号不平衡的影响小，也不需要复杂的直流补偿电路。但是超外差结构存在结构复杂，集成度低，成本和功耗都过高的问题，这大大限制了超外差结构的进一步发展和应用。随着软件无线电技术的发展，零中频结构由于它本身结构简单，集成度高，体积小，成本和功耗很低，不需要外置的镜像频率抑制滤波器等优点，实用价值日益突显，近年来得到了非常广泛的关注和研究.但是零中频结构由于其本身的特性，存在着一些固有的缺点，比如易受到本振泄漏和干扰的影响，需要额外的直流补偿电路;由于工艺角、器件匹配等因素的影响，存在IQ不平衡问题这些都会直接影响到收发机的性能，这也是零中频结构在过去几十年来没有得到大范围应用的主要原因之一。

  我这里尝试描述一下，该方案中的接收校准和发射校准的简单架构。

接收校准

  在接收校准中，iq失衡的信号经过adc之后，转化成数字信号，到dsp内处理，处理方法是参数估计和参数补偿两大部分。

发射校准

  发射校准需要用到理想的接收机，

接收iq失衡模型

一、iq失衡模型框图

  射频接收机iq不平衡模型

二、实数域理想情况

（1）上变频

r(t)是理想的iq射频信号。

其数学模型可以表示为

$$r(t)=z_I(t)cos({\omega }_{c}t)-z_Q(t)sin({\omega }_{c}t)$$
其中
$$z_I(t)、z_Q(t)$$
是基带给的iq路理想信号，在经过发射机的混频之后，形成了
$$r(t)$$

发射机的混频过程如下图
其中$I$可以看成就是$z_I(t)$，$Q$是$z_Q(t)$。

（2）下变频

先看一下通信原理书本上的解调

当接收机的iq路是理想情况时，也就是没有iq不平衡的情况时，r(t)经过混频器之后，会是这样一个过程

$$r(t)=z_I(t)cos({\omega }_{c}t)-z_Q(t)sin({\omega }_{c}t)$$

I路：
$$r(t)\ast cos({\omega }_{c}t)=z_I(t)\ast co{s}^2({\omega }_{c}t)-z_Q(t)\ast sin({\omega }_{c}t)\ast cos({\omega }_{c}t)$$
Q路：
$$r(t)\ast (-sin({\omega }_{c}t))=-z_I(t)\ast cos({\omega }_{c}t)\ast sin({\omega }_{c}t)+z_Q(t)\ast si{n}^2({\omega }_{c}t)$$

（3） 低通滤波（积分）

低通滤波器，我理解它在数学上是以积分的形式进行计算，以下计算的条件可能不够严谨，仅供参考。

对两路分别积分，其中，$Z_i(t)$，这是基带给的$I$路信号，我个人觉得，可以把它认为是一种低通分量，经过滤波器之后，基本不受影响，因此，计算时将它当作一个常数来看待。
I路：

$\begin{array}{lclc}\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}[r(t)\ast cos({\omega }_{C}t)]dt& =& \frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}[z_I(t)\ast co{s}^2({\omega }_{c}t)-z_Q(t)\ast sin({\omega }_{c}t)\ast cos({\omega }_{c}t)]dt& \\ & & & \\ & =& \frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}[z_I(t)\ast co{s}^2({\omega }_{c}t)]dt& \\ \because \int [co{s}^2({\omega }_{c}t)]dt=\frac{t}{2}+\frac{sin(2{\omega }_{c}t)}{4}+C& & & \\ & =& \frac{2}{T}\ast z_I(t)\ast \{[\frac{t}{2}+\frac{sin(2{\omega }_{c}t)}{4}+C]{|}_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\}& \\ \because {\omega }_c=\frac{2\pi }{T},T{\omega }_c=2\pi & & & \\ & =& \frac{2}{T}\ast z_I(t)\ast [(\frac{T}{4}+\frac{sin({\omega }_{c}T)}{4}+C)-(-\frac{T}{4}+\frac{sin(-{\omega }_{c}T)}{4}+C)]& \\ & & & \\ & =& \frac{2}{T}\ast z_I(t)\ast [(\frac{T}{4}+\frac{sin(2\pi )}{4}+C)-(-\frac{T}{4}+\frac{sin(-2\pi )}{4}+C)]& \\ & & & \\ & =& \frac{2}{T}\ast z_I(t)\ast \frac{T}{2}& \\ & & & \\ & =& z_I(t)& \end{array}$

Q路：

$\begin{array}{lclc}\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}[r(t)\ast (-sin({\omega }_{c}t))]dt& =& \frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}[-z_I(t)\ast cos({\omega }_{c}t)\ast sin({\omega }_{c}t)+z_Q(t)\ast si{n}^2({\omega }_{c}t)]dt& \\ & & & \\ & =& \frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}[z_Q(t)\ast si{n}^2({\omega }_{c}t)]dt& \\ \because \int [si{n}^2({\omega }_{c}t)]dt=\frac{t}{2}-\frac{sin(2{\omega }_{c}t)}{4}+C& & & \\ & =& \frac{2}{T}\ast z_Q(t)\ast \{[\frac{t}{2}-\frac{sin(2{\omega }_{c}t)}{4}+C]{|}_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\}& \\ \because {\omega }_c=\frac{2\pi }{T},T{\omega }_c=2\pi & & & \\ & =& \frac{2}{T}\ast z_Q(t)\ast [(\frac{T}{4}-\frac{sin({\omega }_{c}T)}{4}+C)-(-\frac{T}{4}-\frac{sin(-{\omega }_{c}T)}{4}+C)]& \\ & & & \\ & =& \frac{2}{T}\ast z_Q(t)\ast [(\frac{T}{4}-\frac{sin(2\pi )}{4}+C)-(-\frac{T}{4}-\frac{sin(-2\pi )}{4}+C)]& \\ & & & \\ & =& \frac{2}{T}\ast z_Q(t)\ast \frac{T}{2}& \\ & & & \\ & =& z_Q(t)& \end{array}$

同理，q路也可以被完全还原

三、实数域iq失衡情况

  我们假设此时q路存在iq失衡，那么，上面这个式子将会发生变化。此时，q路本振不再是
$$[-sin({\omega }_{c}t)]$$
而是
$$[-\alpha sin({\omega }_{c}t+\phi )]$$

那么

Q路的计算结果会变成
下文用$I$代替$z_I(t)$，$Q$代替$z_Q(t)$
$$r(t)=Icos({\omega }_{c}t)-Qsin({\omega }_{c}t)$$
经过混频后
$$\begin{array}{lcl}r(t)\ast (-\alpha sin({\omega }_{c}t+\phi ))& =& r(t)\ast (-\alpha )\ast (sin({\omega }_{c}t)cos(\phi )+cos({\omega }_{c}t)sin(\phi ))\\ & =& (-\alpha )\ast [(Icos({\omega }_{c}t)sin({\omega }_{c}t)cos(\phi )+Ico{s}^2({\omega }_{c}t)sin(\phi ))\\ & & -Qsi{n}^2({\omega }_{c}t)cos(\phi )-Qsin({\omega }_{c}t)cos({\omega }_{c}t)cos(\phi )]\end{array}$$

  看起来复杂，其实上面式子积分的时候，只要对第二、三个多项式积分就可以了。其他两个多项式都是奇函数，设定对应的积分区间，他们的积分结果就是0。
积分结果

$\begin{array}{lcl}(-\alpha )\ast \frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}Ico{s}^2({\omega }_{c}t)sin(\phi )dt& =& (-\alpha )\ast \frac{2}{T}\ast Isin(\phi )\ast (\frac{t}{2}+\frac{sin(2{\omega }_{c}t)}{4}+C){|}_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\\ & =& (-\alpha )\ast \frac{2}{T}\ast Isin(\phi )\ast (\frac{T}{2})\\ & =& -I\alpha sin(\phi )\end{array}$

$\begin{array}{lcl}(\alpha )\ast \frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}Qsi{n}^2({\omega }_{c}t)cos(\phi )dt& =& (\alpha )\ast \frac{2}{T}\ast Qcos(\phi )\ast (\frac{t}{2}-\frac{sin(2{\omega }_{c}t)}{4}+C){|}_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\\ & =& (-\alpha )\ast \frac{2}{T}\ast Qcos(\phi )\ast (\frac{T}{2})\\ & =& Q\alpha cos(\phi )\end{array}$

又因为i路的本振是没有改变的，所以它还是原来的I信号，

上述是三角函数的直接推导，从结果上看，我们可以这么理解。

对比iq平衡时的结果。即
$z_I(t)+j{z}_Q(t)$
$z_I(t)+j(\alpha cos(\phi )z_Q(t)-\alpha sin(\phi )z_I(t))$
从三角函数的角度，可以看到q路的幅度发生了变化，并且还多出了一些干扰信号。

四、复数域理想情况

为了更简单的去描述干扰，我们从复数域去看iq失衡。

（1） 上变频

上变频过程如下图

原信号：$$Z=I+jQ$$
混频：$$e^{j{\omega }_{0}t}=cos({\omega }_{0}t)+jsin({\omega }_{0}t)$$
取实数：$$Re[(I+jQ)e^{j{\omega }_{0}t}]=Icos({\omega }_{0}t)-Qsin({\omega }_{0}t)$$
得到的信号就是射频载波信号。该信号可以以复数体现：
这里引用别人的，其中$a$就是$I$，$b$就是$Q$

（2）下变频

五、复数域iq失衡情况

当iq失衡时，下变频系统不再是$e^{-j{\omega }_{o}t}$ ，而是，
$$cos({\omega }_{0}t)-j\alpha sin({\omega }_{0}t+\phi )$$

用复数表示是

$$\begin{array}{lcl}cos({\omega }_{0}t)-j\alpha sin({\omega }_{0}t+\phi )& =& \frac{e^{j{\omega }_{0}t}+e^{-j{\omega }_{0}t}}{2}-\alpha \ast [\frac{e^{j{\omega }_{0}t}\ast e^{j\phi }-e^{-j{\omega }_{0}t}{e}^{-j\phi }}{2}]\\ & & \\ & =& \frac{(1-\alpha e^{j\phi })}{2}\ast e^{j{\omega }_{0}t}+\frac{(1+\alpha e^{-j\phi })}{2}\ast e^{-j{\omega }_{0}t}\end{array}$$
我们理想情况下的下变频系统是：$$e^{-j{\omega }_{0}t}$$
两者相比较，iq失衡的下变频系统，多出了一个干扰，并且还削弱了我们本身的下变频系统的作用。
在iq失衡的公式中，我们为了衡量iq不平衡程度，将期望本振信号的幅度
$$\frac{(1+\alpha e^{-j\phi })}{2}$$

比上干扰信号的幅度。
$$\frac{(1-\alpha e^{j\phi })}{2}$$

转化为对数形式，将此公式定义为镜像抑制比，如下所示。

如果我们将理想射频载波信号：
$\begin{array}{lcl}& & \\ s(t)& =& Icos({\omega }_{0}t)-Qsin({\omega }_{0}t)\\ & & \\ & =& \frac{I}{2}(e^{j{\omega }_{0}t}+e^{-j{\omega }_{0}t})+\frac{jQ}{2}(e^{j{\omega }_{0}t}-e^{-j{\omega }_{0}t})\\ & & \\ & =& \frac{(I+jQ)}{2}\ast e^{j{\omega }_{0}t}+\frac{(I-jQ)}{2}\ast e^{-j{\omega }_{0}t}\end{array}$

接入该iq失衡的下变频系统，也就是数学上的相乘。
$\begin{array}{l}\\ [\frac{(I+jQ)}{2}\ast e^{j{\omega }_{0}t}+\frac{(I-jQ)}{2}\ast e^{-j{\omega }_{0}t}]\ast [\frac{(1-\alpha e^{j\phi })}{2}\ast e^{j{\omega }_{0}t}+\frac{(1+\alpha e^{-j\phi })}{2}\ast e^{-j{\omega }_{0}t}]\end{array}$

展开来说，这里相乘之后，会有4个项。两个常数项，一个$e^{j2{\omega }_{0}t}$项，一个$e^{-j2{\omega }_{0}t}$项。
接入积分，因为$e^{j2{\omega }_{0}t}$和$e^{-j2{\omega }_{0}t}$的欧拉公式是一个偶函数（cos）加上一个奇函数（sin），所以特定积分之后是0，当然也可以实际算一下。确实是0。而多项式第二、三项是常数，常数的积分是非常好算的。
实际计算结果：

$\begin{array}{lcl}& & \\ & =& \frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\{[\frac{(I+jQ)}{2}\ast e^{j{\omega }_{0}t}+\frac{(I-jQ)}{2}\ast e^{-j{\omega }_{0}t}]\ast [\frac{(1-\alpha e^{j\phi })}{2}\ast e^{j{\omega }_{0}t}+\frac{(1+\alpha e^{-j\phi })}{2}\ast e^{-j{\omega }_{0}t}]\}dt\\ & & \\ & =& \frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}[\frac{(I+jQ)}{2}\ast \frac{(1+\alpha e^{-j\phi })}{2}+\frac{(I-jQ)}{2}\ast \frac{(1\alpha e^{-j\phi })}{2}]dt\\ & & \\ & =& 2\ast \{\frac{(I+jQ)}{2}\ast \frac{(1+\alpha e^{-j\phi })}{2}+\frac{(I-jQ)}{2}\ast \frac{(1-\alpha e^{j\phi })}{2}\}\\ & & \\ & =& 2\ast \{\frac{(I+jQ+I\alpha e^{-j\phi }+jQ\alpha e^{-j\phi })}{4}+\frac{(I-jQ-I\alpha e^{j\phi }+jQ\alpha e^{j\phi })}{4}\}\\ & & \\ & =& 2\ast \{\frac{I}{2}+\frac{I\alpha (e^{-j\phi }-e^{j\phi })}{4}+\frac{jQ\alpha (e^{-j\phi }+e^{j\phi })}{4}\}\\ & & \\ & & \because (e^{-j\phi }-e^{j\phi })=(cos(\phi )-jsin(\phi ))-(cos(\phi )+jsin(\phi ))=-2sin(\phi )\\ & & \because (e^{-j\phi }+e^{j\phi })=(cos(\phi )-jsin(\phi ))+(cos(\phi )+jsin(\phi ))=2cos(\phi )\\ & & \\ & =& 2\ast \{\frac{I}{2}-\frac{jI\alpha sin(\phi )}{2}+\frac{jQ\alpha cos(\phi )}{2}\}=I+j[\alpha cos(\phi )Q-\alpha sin(\phi )I]\end{array}$

对比使用三角函数的计算结果，跟下图的结果是一样的。