13. 二叉树

二叉树(binary tree)是一种非线性数据结构，代表“祖先”与“后代”之间的派生关系，体现了“一分为二”的分治逻辑。与链表类似，二叉树的基本单元是节点，每个节点包含值、左子节点引用和右子节点引用。

/* 二叉树节点结构体 */
struct TreeNode {
    int val;          // 节点值
    TreeNode *left;   // 左子节点指针
    TreeNode *right;  // 右子节点指针
    TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
};

每个节点都有两个引用（指针），分别指向「左子节点 left-child node」和「右子节点 right-child node」，该节点被称为这两个子节点的「父节点 parent node」。当给定一个二叉树的节点时，我们将该节点的左子节点及其以下节点形成的树称为该节点的「左子树 left subtree」，同理可得「右子树 right subtree」。

在二叉树中，除叶节点外，其他所有节点都包含子节点和非空子树。如下图所示，如果将“节点 2”视为父节点，则其左子节点和右子节点分别是“节点 4”和“节点 5”，左子树是“节点 4 及其以下节点形成的树”，右子树是“节点 5 及其以下节点形成的树”。

 13.1 二叉树常见术语

二叉树的常用术语如下图所示。

• 「根节点 root node」：位于二叉树顶层的节点，没有父节点。
• 「叶节点 leaf node」：没有子节点的节点，其两个指针均指向 \(\text{None}\) 。
• 「边 edge」：连接两个节点的线段，即节点引用（指针）。
• 节点所在的「层 level」：从顶至底递增，根节点所在层为 1 。
• 节点的「度 degree」：节点的子节点的数量。在二叉树中，度的取值范围是 0、1、2 。
• 二叉树的「高度 height」：从根节点到最远叶节点所经过的边的数量。
• 节点的「深度 depth」：从根节点到该节点所经过的边的数量。
• 节点的「高度 height」：从距离该节点最远的叶节点到该节点所经过的边的数量。

 （我们通常将“高度”和“深度”定义为“经过的边的数量”，但有些题目或教材可能会将其定义为“经过的节点的数量”。在这种情况下，高度和深度都需要加 1 。）

13.2 二叉树基本操作

1. 初始化二叉树

与链表类似，首先初始化节点，然后构建引用（指针）。

/* 初始化二叉树 */
// 初始化节点
TreeNode* n1 = new TreeNode(1);
TreeNode* n2 = new TreeNode(2);
TreeNode* n3 = new TreeNode(3);
TreeNode* n4 = new TreeNode(4);
TreeNode* n5 = new TreeNode(5);
// 构建节点之间的引用（指针）
n1->left = n2;
n1->right = n3;
n2->left = n4;
n2->right = n5;

2. 插入与删除节点

与链表类似，在二叉树中插入与删除节点可以通过修改指针来实现。下图给出了一个示例。

/* 插入与删除节点 */
TreeNode* P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1->left = P;
P->left = n2;
// 删除节点 P
n1->left = n2;

 需要注意的是，插入节点可能会改变二叉树的原有逻辑结构，而删除节点通常意味着删除该节点及其所有子树。因此，在二叉树中，插入与删除通常是由一套操作配合完成的，以实现有实际意义的操作。

13.3 常见二叉树类型

13.3.1 完美二叉树

完美二叉树(perfect binary tree)又称满二叉树。如下图所示，完美二叉树所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中，叶节点的度为 0，其余所有节点的度都为 2；若树的高度为 h ，则节点总数为2^(h+1)- 1，呈现标准的指数级关系，反映了自然界中常见的细胞分裂现象。

13.3.2 完全二叉树 

如下图所示，完全二叉树(complete binary tree)只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左填充。

13.3.3 完满二叉树

如下图所示，完满二叉树(full binary tree)除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。

13.3.4 平衡二叉树 

如下图所示，平衡二叉树(balanced binary tree)中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1 。

13.4 二叉树的退化 

下图展示了二叉树的理想结构与退化结构。当二叉树的每层节点都被填满时，达到“完美二叉树”；而当所有节点都偏向一侧时，二叉树退化为“链表”。

• 完美二叉树是理想情况，可以充分发挥二叉树“分治”的优势。
• 链表则是另一个极端，各项操作都变为线性操作，时间复杂度退化至O(n)。

如下表 所示，在最佳结构和最差结构下，二叉树的叶节点数量、节点总数、高度等达到极大值或极小值。