树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它 叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。
有一个特殊的结点,称为根结点,根节点没有前驱结点
除根节点外,其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm,其中每一个集 合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以 有0个或多个后继
因此,树是递归定义的。
节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度; 如上图:A的为6
叶节点或终端节点:度为0的节点称为叶节点; 如上图:B、C、H、I...等节点为叶节点
非终端节点或分支节点:度不为0的节点; 如上图:D、E、F、G...等节点为分支节点
双亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点; 如上图:A是B 的父节点
孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点; 如上图:B是A的孩子节 点
兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点; 如上图:B、C是兄弟节点
树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度; 如上图:树的度为6
节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;
树的高度或深度:树中节点的最大层次; 如上图:树的高度为4
节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;如上图:A是所有节点的祖先
子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图:所有节点都是A的子孙
森林:由m(m>0)棵互不相交的多颗树的集合称为森林;(数据结构中的学习并查集本质就是 一个森林)
树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,实际中树有很多种表示方式, 如:双亲表示法,孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子 兄弟表示法。
typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType _data; // 结点中的数据域
};
一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合或者为空,或者是由一个根节点加上两棵别称为左子 树和右子树的二叉树组成。
二叉树的特点:
1. 每个结点最多有两棵子树,即二叉树不存在度大于2的结点。
2. 二叉树的子树有左右之分,其子树的次序不能颠倒。
1. 满二叉树:一个二叉树,如果每一个层的结点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉 树。也就是说,如果一个二叉树的层数为K,且结点总数是(2^k) -1 ,则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树:完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对 于深度为K的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号 从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉 树。
二叉树一般可以使用两种结构存储,一种顺序结构,一种链式结构。
二叉树的性质
1. 若规定根节点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点.
2. 若规定根节点的层数为1,则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h- 1.
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0=n2 +1
4. 若规定根节点的层数为1,具有n个结点的满二叉树的深度,h=LogN
顺序结构存储就是使用数组来存储,一般使用数组只适合表示完全二叉树,因为不是完全二叉树 会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储,关于堆我们后面的章节会专门讲 解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组,在逻辑上是一颗二叉树。
二叉树的链式存储结构是指,用链表来表示一棵二叉树,即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的 方法是链表中每个结点由三个域组成,数据域和左右指针域,左右指针分别用来给出该结点左孩 子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链,当前我们学习中一般都 是二叉链,后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* pLeft; // 指向当前节点左孩子
struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子
BTDataType _data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* pParent; // 指向当前节点的双亲
struct BinTreeNode* pLeft; // 指向当前节点左孩子
struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子
BTDataType _data; // 当前节点值域
};
1. 某二叉树共有 399 个结点,其中有 199 个度为 2 的结点,则该二叉树中的叶子结点数为( )
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中,叶子结点个数为( )
A n
B n+1
C n-1
D n/2
3.一棵完全二叉树的节点数位为531个,那么这棵树的高度为( )
A 11
B 10
C 8
D 12
1.B 2.A 3.B
4.1二叉树链式结构的遍历
所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线,依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访 问结点所做的操作依赖于具体的应用问 题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一,是二叉树上进行 其它运算之基础。
前序/中序/后序的递归结构遍历:是根据访问结点操作发生位置命名
1. NLR:前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右 子树之前。
2. LNR:中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中 (间)。
3. LRN:后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。
由于被访问的结点必是某子树的根,所以N(Node)、L(Left subtree)和R(Right subtree)又 可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根 遍历。
层序遍历:除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外,还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的 根节点所在层数为1,层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发,首先访问第一层的树根节点,然 后从左到右访问第2层上的节点,接着是第三层的节点,以此类推,自上而下,自左至右逐层访问 树的结点的过程就是层序遍历。
选择题
1.某完全二叉树按层次输出(同一层从左到右)的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为( )
A ABDHECFG
B ABCDEFGH
C HDBEAFCG
D HDEBFGCA
2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下:先序遍历:EFHIGJK;中序遍历:HFIEJKG.则二叉树根结点为 ()
A E
B F
C G
D H
3.设一课二叉树的中序遍历序列:badce,后序遍历序列:bdeca,则二叉树前序遍历序列为____。
A adbce
B decab
C debac
D abcde
1.A 2.A 3.D
1. 二叉树的前序遍历:144. 二叉树的前序遍历 - 力扣(LeetCode)
2. 二叉树的中序遍历:94. 二叉树的中序遍历 - 力扣(LeetCode)
3. 二叉树的后序遍历:145. 二叉树的后序遍历 - 力扣(LeetCode)
4. 二叉树的最大深度:104. 二叉树的最大深度 - 力扣(LeetCode)
5. 平衡二叉树:110. 平衡二叉树 - 力扣(LeetCode)
6. 二叉树的层序遍历:102. 二叉树的层序遍历 - 力扣(LeetCode)