【学习笔记】群作用与轨道-稳定化子定理

群作用,轨道-稳定化子定理

不妨通过一个简单的例子来引入群作用的概念,恕我直言这个东西真的很神奇

引入

S S S是一个非空集合,我们考虑所有 S → S S\rightarrow S SS的双射 f f f所组成的集合,记为 P e r m ( S ) Perm(S) Perm(S),事实上它关于映射的复合作成一个群,即 S S S上的置换群,即 ( P e r m ( s ) , ∘ ) (Perm(s),\circ) (Perm(s),)

接下来考虑群 G G G上,对于一个特定的元素 x ∈ G x\in G xG的映射: ϕ x : G → G , a ↦ x a \phi_x:G\rightarrow G,a\mapsto xa ϕx:GG,axa,事实上它是一个双射,对于这一点我们只需证明 ϕ x \phi_x ϕx存在逆映射即可。显然 ϕ x \phi_x ϕx的逆映射就是 ϕ x − 1 : G → G , a ↦ x − 1 a \phi_{x^{-1}}:G\rightarrow G,a\mapsto x^{-1}a ϕx1:GG,ax1a

证明:
( ϕ x ∘ ϕ x − 1 ) ( a ) = ϕ x ( ( ϕ x − 1 ( a ) ) ) = ϕ x ( x − 1 a ) = x x − 1 a = a = I d ( a ) ( ϕ x − 1 ∘ ϕ x ) ( a ) = ϕ x − 1 ( ( ϕ x ( a ) ) ) = ϕ x − 1 ( x a ) = x − 1 x a = a = I d ( a ) (\phi_x\circ \phi_{x^{-1}})(a)=\phi_x((\phi_{x^{-1}}(a)))=\phi_x(x^{-1}a)=xx^{-1}a=a=Id(a)\\ (\phi_{x^{-1}}\circ \phi_{x})(a)=\phi_{x^{-1}}((\phi_{x}(a)))=\phi_{x^{-1}}(xa)=x^{-1}xa=a=Id(a)\\ (ϕxϕx1)(a)=ϕx((ϕx1(a)))=ϕx(x1a)=xx1a=a=Id(a)(ϕx1ϕx)(a)=ϕx1((ϕx(a)))=ϕx1(xa)=x1xa=a=Id(a)
其中 I d Id Id就表示 S → S S\rightarrow S SS的恒等映射

那么此时就有 ( ϕ x ) − 1 = ϕ x − 1 (\phi_x)^{-1}=\phi_{x^{-1}} (ϕx)1=ϕx1 ,故 ϕ x \phi_x ϕx G 到 G G到G GG的一个双射 □ \square


我们很快就注意到 ϕ x ∈ P e r m ( G ) \phi_x\in Perm(G) ϕxPerm(G) 。将目光从 ϕ x \phi_x ϕx上再抽象出来一层,我们定义映射 ϕ : ( G , ⋅ ) → ( P e r m ( G ) , ∘ ) , x ↦ ϕ x \phi:(G,\cdot)\rightarrow (Perm(G),\circ),x\mapsto \phi_x ϕ:(G,)(Perm(G),),xϕx。这里有点抽象,前者是一个群 G G G,后者也是一个群,但是它是从一个集合 G G G当中得到的,在这个集合里我们忽略了 G G G的运算的结构,只考虑它作为集合的结构,从而得到所有在其上的双射组成的 ( P e r m ( G ) , ∘ ) (Perm(G),\circ) (Perm(G),)

映射的两个对象都是群,令人惊奇的是,事实上 ϕ \phi ϕ也是一个群同态:

证明:

ϕ \phi ϕ是良定义的:这一点显然

∀ x , y ∈ G , z ∈ G \forall x,y\in G,z\in G x,yGzG
( ϕ x ∘ ϕ y ) ( z ) = x ( y z ) = ( x y ) z = ϕ x y ( z ) (\phi_x\circ\phi_y)(z)=x(yz)=(xy)z=\phi_{xy}(z) (ϕxϕy)(z)=x(yz)=(xy)z=ϕxy(z)
对于所有的 z z z都满足该性质,故
ϕ x ∘ ϕ y = ϕ x y \phi_x\circ \phi_y=\phi_{xy} ϕxϕy=ϕxy

ϕ ( x ⋅ y ) = ϕ ( x ) ∘ ϕ ( y ) \phi(x\cdot y)=\phi(x)\circ \phi(y) ϕ(xy)=ϕ(x)ϕ(y)
ϕ \phi ϕ G → P e r m ( G ) G\rightarrow Perm(G) GPerm(G)的一个群同态 □ \square

这样的一个神奇的 ϕ \phi ϕ就是一个群作用。现在我们给出定义如下

定义1

G G G是一个群, S S S是一个非空集合,若 ϕ : G → P e r m ( S ) \phi:G\rightarrow Perm(S) ϕ:GPerm(S)是一个群同态,那么称 ϕ \phi ϕ G G G集合 S S S上的一个群作用

在上例中集合 S S S恰好就是 G G G本身,但是我们也强调过在 ( P e r m ( G ) , ∘ ) (Perm(G),\circ) (Perm(G),)中我们已经忽略了 G G G作为群的运算结构而只考虑其集合的结构

从这个定义中我们可以很清晰地看到 ϕ \phi ϕ作为一个群同态的优美性质,但是实际上还有另外一种等价的定义,它能帮助我们更好地判断一个映射是否为群作用

定义2

G G G是一个群, S S S是一个非空集合,如果映射
σ : G ∗ S → S ( a , x ) ↦ a ∘ x 我们记为 a 作用在 x 上 \sigma:G*S\rightarrow S\\(a,x)\mapsto a\circ x \\我们记为a作用在x上 σ:GSS(a,x)ax我们记为a作用在x
满足:
e ⋅ x = x , ∀ x ∈ S ( a b ) ⋅ x = a ⋅ ( b ⋅ x ) , ∀ a , b ∈ G , x ∈ S e\cdot x=x,\forall x\in S\\(ab)\cdot x=a\cdot(b\cdot x),\forall a,b \in G,x\in S ex=x,xS(ab)x=a(bx),a,bG,xS
那么称群 G G G在集合 S S S有一个作用 ( a , x ) ↦ a ⋅ x (a,x)\mapsto a\cdot x (a,x)ax

仔细观察定义1, ϕ \phi ϕ是我们的群作用,是一个 G → P e r m ( s ) G\rightarrow Perm(s) GPerm(s)的映射,现在我们取出一个 x x x,得到一个 ϕ x ∈ P e r m ( S ) \phi_x\in Perm(S) ϕxPerm(S),它又是一个映射(事实上是双射),它作用在 s ∈ S s\in S sS,会得到 ϕ x ( s ) ∈ S \phi_x(s)\in S ϕx(s)S。整个过程实际上就是在 G G G中取出一个元素x,在 S S S中取出一个元素 s s s,也就是对应 G ∗ S G* S GS,得到一个 S S S中的元素,这一过程解释了在定义2中 σ \sigma σ为什么是 G ∗ S → S G* S\rightarrow S GSS的映射。

两个定义的联系

下面我们来证明两个定义其实是等价的:

证明:

定义1 → \rightarrow 定义2:

首先 ϕ \phi ϕ确实是 G ∗ S → S G* S\rightarrow S GSS的映射,我们定义双射
ϕ a : S → S ( a , x ) ↦ a ⋅ x , a ∈ G , x ∈ S \phi_a:S\rightarrow S\\(a,x)\mapsto a\cdot x,a\in G,x\in S\\ ϕa:SS(a,x)ax,aG,xS
则:
∀ x ∈ S , e ⋅ x = ϕ e ( x ) = I d ( x ) = x , 故第一条得证 ∀ a , b ∈ G , ( a b ) ⋅ x = ϕ a b ( x ) = ( ϕ a ∘ ϕ b ) ( x ) = ϕ a ( ϕ b ( x ) ) = ϕ a ( b ⋅ x ) = a ⋅ ( b ⋅ x ) 从而第二条得证 \forall x\in S,e\cdot x=\phi_e(x)=Id(x)=x,故第一条得证\\\forall a,b\in G,(ab)\cdot x=\phi_{ab}(x)=(\phi_a\circ \phi_b)(x)=\phi_a(\phi_b(x))=\phi_a(b\cdot x)=a\cdot(b\cdot x)\\从而第二条得证 xS,ex=ϕe(x)=Id(x)=x,故第一条得证a,bG,(ab)x=ϕab(x)=(ϕaϕb)(x)=ϕa(ϕb(x))=ϕa(bx)=a(bx)从而第二条得证
定义2 → \rightarrow 定义1:

还是定义
ϕ : G → P e r m ( S ) x ↦ ϕ x 其中 ϕ x : S → S s ↦ x ⋅ s , s ∈ S \phi:G\rightarrow Perm(S)\\x\mapsto\phi_x\\其中\phi_x:S\rightarrow S\\ s\mapsto x\cdot s,s\in S ϕ:GPerm(S)xϕx其中ϕx:SSsxs,sS
首先证明 ϕ x \phi_x ϕx确实是一个双射:
x ⋅ ( x − 1 ⋅ s ) = ( x x − 1 ) ⋅ s = e ⋅ s = s x − 1 ⋅ ( x ⋅ s ) = ( x − 1 x ) ⋅ s = e ⋅ s = s x\cdot(x^{-1}\cdot s)=(xx^{-1})\cdot s=e\cdot s= s\\x^{-1}\cdot(x\cdot s)=(x^{-1}x)\cdot s=e\cdot s= s x(x1s)=(xx1)s=es=sx1(xs)=(x1x)s=es=s
( ϕ x ) − 1 = ϕ x − 1 (\phi_x)^{-1}=\phi_{x^{-1}} (ϕx)1=ϕx1,所以它确实是一个双射。这一结论是由性质1保证的,因为 e ⋅ s = s e\cdot s=s es=s

而由性质2,我们知道 ϕ \phi ϕ保持运算,所以 ϕ \phi ϕ是一个 G → P e r m ( S ) G\rightarrow Perm(S) GPerm(S)的群同态,所以 ϕ \phi ϕ就是群 G G G在集合 S S S上的作用 □ \square

所以第一条性质是为了保证良定义,第二条性质是为了保证群同态,两者合在一起就是对群作用的定义

这样我们对一个映射就有了判断的条件了,也认识到了其优美的同态性质

同时,如果我们认识到了群 G G G在集合 S S S上有一个群作用
( a , x ) ↦ a ⋅ x , a ∈ G , x ∈ S (a,x)\mapsto a\cdot x,a\in G,x\in S (a,x)ax,aG,xS
那么
ϕ : G → P e r m ( S ) x ↦ a ⋅ x \phi:G\rightarrow Perm(S)\\x\mapsto a\cdot x ϕ:GPerm(S)xax
就一定是群 G G G到集合 S S S的群同态,以及
∀ a ∈ G , ϕ a 是 S → S 的双射 \forall a\in G,\phi_a是S\rightarrow S的双射 aG,ϕaSS的双射
(当然 ϕ a \phi_a ϕa不一定是群同态)

群作用的核

群作用的核定义为定义1中同态 ϕ \phi ϕ的核,即 K e r ϕ Ker\phi Kerϕ


a ∈ G 是群作用的核 ⇔ ϕ a = I d ⇔ ϕ a ( x ) = x , ∀ x ∈ S ⇔ a ⋅ x = x , ∀ x ∈ S a\in G是群作用的核\\\Leftrightarrow \phi_a=Id\\ \Leftrightarrow \phi_a(x)=x,\forall x\in S \\\Leftrightarrow a\cdot x=x,\forall x\in S aG是群作用的核ϕa=Idϕa(x)=x,xSax=x,xS

群作用的例子

我们重新审视一下开头讲的例子

G G G在集合 G G G上的左平移


G ∗ G → G x ↦ a x ( 1 ) G* G\rightarrow G\\x\mapsto ax (1) GGGxax(1)
显然有
e x = x , ∀ x ∈ G ( a b ) x = a ( b x ) , ∀ a , b ∈ G , ∀ x ∈ G ex=x,\forall x\in G\\(ab)x=a(bx),\forall a,b\in G,\forall x\in G ex=x,xG(ab)x=a(bx),a,bG,xG
所以 ( 1 ) (1) (1)式给出了一个群作用。这里我们用定义2重新证明了这是一个群作用。

我们考察一下这个群作用的核
a ∈ G 属于群作用的核 ⇔ a x = x , ∀ x ∈ G ⇔ a = e a\in G属于群作用的核\\\Leftrightarrow ax=x,\forall x\in G\\\Leftrightarrow a=e aG属于群作用的核ax=x,xGa=e
故群作用的核为 { e } \{e\} {e},所以 ϕ : G → P e r m ( G ) \phi:G\rightarrow Perm(G) ϕ:GPerm(G)是一个单同态。那么显然 G ≅ I m ϕ G\cong Im\phi GImϕ。又 I m ϕ < P e r m ( G ) Im\phiImϕ<Perm(G),所以群 G G G与集合 G G G上的一个变换群同构!

如此我们很轻松地就证明了 C a y l e y Cayley Cayley定理:任意一个群都同构于某一个集合上的变换群

推论:任意一个有限群都同构于一个置换群


G G G在集合 G G G上的共轭作用


G ∗ G → G x ↦ a x a − 1 ( 2 ) G* G\rightarrow G\\x\mapsto axa^{-1} (2) GGGxaxa1(2)
显然有
e x e − 1 = x , ∀ x ∈ G ( a b ) ⋅ x = a b x b − 1 a − 1 = a ⋅ ( b x b − 1 ) = a ⋅ ( b ⋅ x ) exe^{-1}=x,\forall x\in G\\ (ab)\cdot x=abxb^{-1}a^{-1}=a\cdot(bxb^{-1})=a\cdot(b\cdot x) exe1=x,xG(ab)x=abxb1a1=a(bxb1)=a(bx)
( 2 ) (2) (2)式同样给出了一个群作用,叫做群 G G G在集合 G G G上的共轭作用

考察该作用的核
a ∈ G 属于群作用的核 ⇔ a x a − 1 = x ⇔ a x = x a ⇔ a ∈ { b ∈ G ∣ b x = x b , ∀ x ∈ G } = Z ( G ) a\in G属于群作用的核\\\Leftrightarrow axa^{-1}=x\\\Leftrightarrow ax=xa\\ \Leftrightarrow a\in \{b\in G|bx=xb,\forall x\in G\}=Z(G) aG属于群作用的核axa1=xax=xaa{bGbx=xb,xG}=Z(G)
这里 Z ( G ) Z(G) Z(G)称为群 G G G的中心。得到 K e r ϕ = Z ( G ) Ker\phi=Z(G) Kerϕ=Z(G)

这里共轭作用比左乘作用的性质要更好一些,因为实际上对于一个作用来说,根据我们之前所说,
ϕ a : G → G x ↦ a x a − 1 ( 3 ) \phi_a:G\rightarrow G\\x\mapsto axa^{-1}(3) ϕa:GGxaxa1(3)

一定是双射,但是却未必是群同态,而共轭作用的每一个 ϕ x \phi_x ϕx都是一个群同态,从而都是群同构

证明:

因为 ϕ a \phi_a ϕa都是双射,我们只需证明它是群同态即可(不是说 ϕ \phi ϕ是群同态,而是对每一个 ϕ a \phi_a ϕa都是群同态)
∀ y , z ∈ G , ϕ a ( y z ) = a ( y z ) a − 1 = a y a − 1 a z a − 1 = ϕ a ( y ) ϕ a ( z ) \forall y,z\in G,\phi_a(yz)=a(yz)a^{-1}=aya^{-1}aza^{-1}=\phi_a(y)\phi_a(z) y,zG,ϕa(yz)=a(yz)a1=aya1aza1=ϕa(y)ϕa(z)
这就证明了共轭作用下每一个 ϕ a \phi_a ϕa都是 G G G到自身的群同构 □ \square

我们称群 G G G到自身的同构映射为自同构(automorphism),而由 ( 3 ) (3) (3)式定义的同构称为内自同构(inner automorphism)
f 是群 G 的内自同构 ⇔ f 是 G 的共轭作用给出的一个自同构 f是群G的内自同构\Leftrightarrow f是G的共轭作用给出的一个自同构 f是群G的内自同构fG的共轭作用给出的一个自同构

然后我们来研究一些更加深入的东西

轨道-稳定化子定理

轨道


ϕ : G → P e r m ( s ) ϕ a ( x ) = a ⋅ x \phi:G\rightarrow Perm(s)\\\phi_a(x)=a\cdot x ϕ:GPerm(s)ϕa(x)=ax
是一个群作用

那么定义 s ∈ S s\in S sS的轨道 O r b ( s ) Orb(s) Orb(s)
O r b ( s ) = { s ′ ∈ S ∣ ∃ x ∈ G , x s ′ = s } = { x s ∣ x ∈ G } Orb(s)=\{s'\in S|\exist x\in G,xs'=s\}=\{xs|x\in G\} Orb(s)={sS∣∃xG,xs=s}={xsxG}
也就是 s s s在所有 x x x的作用下能到达的点的集合。我们很快就能看到这个定义有什么用

所有元素 s s s的轨道是集合 S S S的一个划分,即

证明:

定义集合 S S S上的一个二元关系
y ∼ x ⇔ ∃ a ∈ G , y = a ⋅ x y\sim x\Leftrightarrow \exist a\in G,y=a\cdot x yxaG,y=ax
不难验证 ∼ \sim 是一个等价关系。所以它给出 S S S上的一个划分
∀ x ∈ S , x ˉ = { y ∈ S ∣ y ∼ x } = { y ∈ S ∣ ∃ a ∈ G , y = a ⋅ x } = { a ⋅ x ∣ a ∈ G } = O r b ( x ) \forall x\in S,\bar{x}=\{y\in S|y\sim x\}\\=\{y\in S|\exist a\in G,y=a\cdot x\}\\=\{a\cdot x|a\in G\}\\=Orb(x) xS,xˉ={ySyx}={yS∣∃aG,y=ax}={axaG}=Orb(x)
□ \square

一些杂谈

我们先来看看 T ∗ X → X T* X\rightarrow X TXX的映射 ϕ \phi ϕ,当然它不一定满足群作用的性质,但是这个结构本身有很多值得研究的东西

不过我们不妨还是定义 ( t , x ) ↦ t ⋅ x (t,x)\mapsto t\cdot x (t,x)tx

  • t ∈ T t\in T tT,则集合
    { x ∈ X ∣ t ⋅ x = x } \{x\in X|t\cdot x=x\} {xXtx=x}
    表示的是在变换t下不变的元素

  • K ⊂ T K\subset T KT,则集合
    { x ∈ X ∣ ∀ t ∈ K , t ⋅ x = x } \{x\in X|\forall t\in K,t\cdot x=x\} {xX∣∀tK,tx=x}
    表示的是在 K K K中所有变换 t t t下都保持不变的x的集合

相对应的,我们以 x x x为主视角看看

  • x ∈ X x\in X xX,则集合
    { t ∈ T ∣ t ⋅ x = x } \{t\in T|t\cdot x=x\} {tTtx=x}
    表示的是固定了 x x x的所有变换t

  • A ⊂ X A\subset X AX,则集合
    { t ∈ T ∣ ∀ x ∈ A , t ⋅ x = x } \{t\in T|\forall x\in A,t\cdot x=x\} {tT∣∀xA,tx=x}
    表示的是固定了A中所有元素 x x x的t的集合

事实上,只要给定了形如 T ∗ X → X T * X\rightarrow X TXX的映射,我们都能很清晰地指出以上四个集合的内容

现在再回过头来看稳定化子。

稳定化子

定义 s ∈ S s\in S sS的稳定化子 S t a b ( s ) Stab(s) Stab(s)
S t a b ( s ) = { x ∈ G ∣ x s = s } Stab(s)=\{x\in G|xs=s\} Stab(s)={xGxs=s}
也就是固定了元素 s s s的所有 x x x,实际上也就是上文的第三个集合

Stab(s)

证明:

∀ x , y ∈ S t a b ( s ) \forall x,y\in Stab(s) x,yStab(s),有
x ⋅ s = y ⋅ s = s x\cdot s=y\cdot s=s xs=ys=s
从而 x − 1 ⋅ s = x − 1 ⋅ ( x ⋅ s ) = ( x − 1 x ) ⋅ s = e ⋅ s = s x^{-1}\cdot s=x^{-1}\cdot (x\cdot s)=(x^{-1}x)\cdot s=e\cdot s=s x1s=x1(xs)=(x1x)s=es=s(关键步骤)

所以
( y x − 1 ) ⋅ s = y ( x − 1 ⋅ s ) = y ⋅ s = s (yx^{-1})\cdot s=y(x^{-1}\cdot s)=y\cdot s=s (yx1)s=y(x1s)=ys=s

y x − 1 ∈ S t a b ( s ) yx^{-1}\in Stab(s) yx1Stab(s)
从而 S t a b ( s ) < G Stab(s)Stab(s)<G □ \square

稍微总结一下我们就能看到一个很眼熟的东西

引理1

ϕ : G → P e r m ( S ) \phi:G\rightarrow Perm(S) ϕ:GPerm(S)是一个群作用,则 ∀ x , y ∈ G , s ∈ S , x ⋅ s = y ⋅ s ⇔ x y − 1 ∈ S t a b ( s ) \forall x,y\in G,s\in S,x\cdot s=y\cdot s\Leftrightarrow xy^{-1}\in Stab(s) x,yG,sS,xs=ysxy1Stab(s)

这与

H ∀ x , y ∈ G , x H = y H ⇔ x y − 1 ∈ H \forall x,y\in G,xH=yH\Leftrightarrow xy^{-1}\in H x,yG,xH=yHxy1H

是很像的

现在我们知道 S t a b ( s ) Stab(s) Stab(s)里的元素保持 s s s不变,我们还可以再探究一下其同一个陪集的元素对 s s s的作用

引理2

a S t a b ( s ) = b S t a b ( s ) ⇔ b − 1 a ∈ S t a b ( s ) 由引理 ⇔ a ⋅ s = b ⋅ s aStab(s)=bStab(s) \\\Leftrightarrow b^{-1}a\in Stab(s) \\由引理 \\\Leftrightarrow a\cdot s=b\cdot s aStab(s)=bStab(s)b1aStab(s)由引理as=bs

所以同一个陪集里的元素对 s s s的作用是一样的

从而我们令
ϕ : ( G / S t a b ( s ) ) l → O r b ( s ) a S t a b ( s ) ↦ a ⋅ s \phi:(G/Stab(s))_l\rightarrow Orb(s) \\ aStab(s)\mapsto a\cdot s ϕ:(G/Stab(s))lOrb(s)aStab(s)as
那么从而我们可以通过引理2的正向推和逆向推得到 ϕ \phi ϕ的合理性以及单射的性质,又由于 ϕ \phi ϕ显然是一个满射,从而 ϕ \phi ϕ是一个双射!

如次我们就证得了

轨道-稳定化子定理

ϕ : G → P e r m ( S ) \phi:G\rightarrow Perm(S) ϕ:GPerm(S)是一个群作用,则 ∀ s ∈ S \forall s\in S sS,存在 ( G / S t a b ( s ) ) l (G/Stab(s))_l (G/Stab(s))l O r b ( s ) Orb(s) Orb(s)的双射

从而 ∣ O r b ( s ) ∣ = [ G : S t a b ( s ) ] |Orb(s)|=[G:Stab(s)] Orb(s)=[G:Stab(s)]

G G G为有限群,则有** ∣ G ∣ = ∣ O r b ( s ) ∣ ∗ ∣ S t a b ( s ) ∣ |G|=|Orb(s)|*|Stab(s)| G=Orb(s)Stab(s)**

举一个形象的例子

二面体群 D 2 n D_{2n} D2n,它是由所有正 n n n边形到自身的对称变换所构成的。对称变换,就是把自身映到自身,而且是保距的。保距指的是,原先距离相同的点,变换后距离仍然相同

∣ D 2 n ∣ = 2 n |D_{2n}|=2n D2n=2n

证明:

首先正n边形有n个旋转变换,以及n个对称变换(绕n个对称轴分别翻转),这样就有 2 n 2n 2n个元素了,我们要证明只有这些元素

任取正n边形的一个顶点 s s s,考虑其轨道 O r b ( s ) Orb(s) Orb(s),最多只能到达n个顶点,而n个旋转变换就恰好可以让s到达n个不同顶点,所以 ∣ O r b ( s ) ∣ = n |Orb(s)|=n Orb(s)=n

然后考虑 S t a b ( s ) Stab(s) Stab(s),我们要保持 s s s不变,不难发现只有两种变换满足要求,一个是恒等变换,另一个是绕s的对称轴翻转的变换,从而 S t a b ( s ) = 2 Stab(s)=2 Stab(s)=2

所以 ∣ D 2 n ∣ = ∣ O r b ( s ) ∣ ∗ ∣ S t a b ( s ) ∣ = 2 n |D_{2n}|=|Orb(s)|*|Stab(s)|=2n D2n=Orb(s)Stab(s)=2n □ \square

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