【学习笔记】群作用与轨道-稳定化子定理

群作用，轨道-稳定化子定理

不妨通过一个简单的例子来引入群作用的概念，恕我直言这个东西真的很神奇

引入

令$S$是一个非空集合，我们考虑所有$S\to S$的双射$f$所组成的集合，记为$Perm(S)$，事实上它关于映射的复合作成一个群，即$S$上的置换群，即$(Perm(s),\circ )$

接下来考虑群$G$上，对于一个特定的元素$x\in G$的映射：${\varphi }_x:G\to G,a\mapsto xa$,事实上它是一个双射，对于这一点我们只需证明${\varphi }_x$存在逆映射即可。显然${\varphi }_x$的逆映射就是${\varphi }_{x^{-1}}:G\to G,a\mapsto x^{-1}a$，

证明：
$$\begin{gathered} ({\varphi }_x\circ {\varphi }_{x^{-1}})(a)={\varphi }_x(({\varphi }_{x^{-1}}(a)))={\varphi }_x(x^{-1}a)=x{x}^{-1}a=a=Id(a) \\ ({\varphi }_{x^{-1}}\circ {\varphi }_x)(a)={\varphi }_{x^{-1}}(({\varphi }_x(a)))={\varphi }_{x^{-1}}(xa)=x^{-1}xa=a=Id(a) \end{gathered}$$
其中$Id$就表示$S\to S$的恒等映射

那么此时就有$({\varphi }_x{)}^{-1}={\varphi }_{x^{-1}}$ ，故${\varphi }_x$是$G到G$的一个双射 $\square$

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我们很快就注意到${\varphi }_x\in Perm(G)$ 。将目光从${\varphi }_x$上再抽象出来一层，我们定义映射$\varphi :(G,\cdot )\to (Perm(G),\circ ),x\mapsto {\varphi }_x$。这里有点抽象，前者是一个群$G$，后者也是一个群，但是它是从一个集合$G$当中得到的，在这个集合里我们忽略了$G$的运算的结构，只考虑它作为集合的结构，从而得到所有在其上的双射组成的$(Perm(G),\circ )$

映射的两个对象都是群，令人惊奇的是，事实上$\varphi$也是一个群同态：

证明：

$\varphi$是良定义的:这一点显然

$\forall x,y\in G，z\in G$
$$({\varphi }_x\circ {\varphi }_y)(z)=x(yz)=(xy)z={\varphi }_{xy}(z)$$
对于所有的$z$都满足该性质，故
$${\varphi }_x\circ {\varphi }_y={\varphi }_{xy}$$
故
$$\varphi (x\cdot y)=\varphi (x)\circ \varphi (y)$$
故$\varphi$是$G\to Perm(G)$的一个群同态 $\square$

这样的一个神奇的$\varphi$就是一个群作用。现在我们给出定义如下

定义1

令$G$是一个群，$S$是一个非空集合，若$\varphi :G\to Perm(S)$是一个群同态，那么称$\varphi$是群$G$在集合$S$上的一个群作用

在上例中集合$S$恰好就是$G$本身，但是我们也强调过在$(Perm(G),\circ )$中我们已经忽略了$G$作为群的运算结构而只考虑其集合的结构

从这个定义中我们可以很清晰地看到$\varphi$作为一个群同态的优美性质，但是实际上还有另外一种等价的定义，它能帮助我们更好地判断一个映射是否为群作用

定义2

令$G$是一个群，$S$是一个非空集合，如果映射
$$\begin{gathered} \sigma :G\ast S\to S \\ (a,x)\mapsto a\circ x \\ 我们记为a作用在x上 \end{gathered}$$
满足：
$$\begin{gathered} e\cdot x=x,\forall x\in S \\ (ab)\cdot x=a\cdot (b\cdot x),\forall a,b\in G,x\in S \end{gathered}$$
那么称群$G$在集合$S$上有一个作用 $(a,x)\mapsto a\cdot x$

仔细观察定义1，$\varphi$是我们的群作用，是一个$G\to Perm(s)$的映射，现在我们取出一个$x$，得到一个${\varphi }_x\in Perm(S)$,它又是一个映射（事实上是双射），它作用在$s\in S$,会得到${\varphi }_x(s)\in S$。整个过程实际上就是在$G$中取出一个元素x，在$S$中取出一个元素$s$,也就是对应$G\ast S$,得到一个$S$中的元素，这一过程解释了在定义2中$\sigma$为什么是$G\ast S\to S$的映射。

两个定义的联系

下面我们来证明两个定义其实是等价的：

证明:

定义1$\to$定义2：

首先$\varphi$确实是$G\ast S\to S$的映射，我们定义双射
$$\begin{gathered} {\varphi }_a:S\to S \\ (a,x)\mapsto a\cdot x,a\in G,x\in S \end{gathered}$$
则：
$$\begin{gathered} \forall x\in S,e\cdot x={\varphi }_e(x)=Id(x)=x,故第一条得证 \\ \forall a,b\in G,(ab)\cdot x={\varphi }_{ab}(x)=({\varphi }_a\circ {\varphi }_b)(x)={\varphi }_a({\varphi }_b(x))={\varphi }_a(b\cdot x)=a\cdot (b\cdot x) \\ 从而第二条得证 \end{gathered}$$
定义2$\to$定义1：

还是定义
$$\begin{gathered} \varphi :G\to Perm(S) \\ x\mapsto {\varphi }_x \\ 其中{\varphi }_x:S\to S \\ s\mapsto x\cdot s,s\in S \end{gathered}$$
首先证明${\varphi }_x$确实是一个双射：
$$\begin{gathered} x\cdot (x^{-1}\cdot s)=(x{x}^{-1})\cdot s=e\cdot s=s \\ {x}^{-1}\cdot (x\cdot s)=(x^{-1}x)\cdot s=e\cdot s=s \end{gathered}$$
故$({\varphi }_x{)}^{-1}={\varphi }_{x^{-1}}$,所以它确实是一个双射。这一结论是由性质1保证的，因为$e\cdot s=s$

而由性质2，我们知道$\varphi$保持运算，所以$\varphi$是一个$G\to Perm(S)$的群同态，所以$\varphi$就是群$G$在集合$S$上的作用 $\square$

所以第一条性质是为了保证良定义，第二条性质是为了保证群同态，两者合在一起就是对群作用的定义

这样我们对一个映射就有了判断的条件了，也认识到了其优美的同态性质

同时，如果我们认识到了群$G$在集合$S$上有一个群作用
$$(a,x)\mapsto a\cdot x,a\in G,x\in S$$
那么
$$\begin{gathered} \varphi :G\to Perm(S) \\ x\mapsto a\cdot x \end{gathered}$$
就一定是群$G$到集合$S$的群同态，以及
$$\forall a\in G,{\varphi }_a是S\to S的双射$$
（当然${\varphi }_a$不一定是群同态）

群作用的核

群作用的核定义为定义1中同态$\varphi$的核，即$Ker\varphi$

故
$$\begin{gathered} a\in G是群作用的核 \\ \iff {\varphi }_a=Id \\ \iff {\varphi }_a(x)=x,\forall x\in S \\ \iff a\cdot x=x,\forall x\in S \end{gathered}$$

群作用的例子

我们重新审视一下开头讲的例子

群$G$在集合$G$上的左平移

令
$$\begin{gathered} G\ast G\to G \\ x\mapsto ax(1) \end{gathered}$$
显然有
$$\begin{gathered} ex=x,\forall x\in G \\ (ab)x=a(bx),\forall a,b\in G,\forall x\in G \end{gathered}$$
所以$(1)$式给出了一个群作用。这里我们用定义2重新证明了这是一个群作用。

我们考察一下这个群作用的核
$$\begin{gathered} a\in G属于群作用的核 \\ \iff ax=x,\forall x\in G \\ \iff a=e \end{gathered}$$
故群作用的核为$\{e\}$,所以$\varphi :G\to Perm(G)$是一个单同态。那么显然$G\cong Im\varphi$。又$Im\varphi <Perm(G)$,所以群$G$与集合$G$上的一个变换群同构！

如此我们很轻松地就证明了$Cayley$定理：任意一个群都同构于某一个集合上的变换群

推论：任意一个有限群都同构于一个置换群

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群$G$在集合$G$上的共轭作用

令
$$\begin{gathered} G\ast G\to G \\ x\mapsto ax{a}^{-1}(2) \end{gathered}$$
显然有
$$\begin{gathered} ex{e}^{-1}=x,\forall x\in G \\ (ab)\cdot x=abx{b}^{-1}{a}^{-1}=a\cdot (bx{b}^{-1})=a\cdot (b\cdot x) \end{gathered}$$
故$(2)$式同样给出了一个群作用，叫做群$G$在集合$G$上的共轭作用

考察该作用的核
$$\begin{gathered} a\in G属于群作用的核 \\ \iff ax{a}^{-1}=x \\ \iff ax=xa \\ \iff a\in \{b\in G|bx=xb,\forall x\in G\}=Z(G) \end{gathered}$$
这里$Z(G)$称为群$G$的中心。得到$Ker\varphi =Z(G)$。

这里共轭作用比左乘作用的性质要更好一些，因为实际上对于一个作用来说，根据我们之前所说，
$$\begin{gathered} {\varphi }_a:G\to G \\ x\mapsto ax{a}^{-1}(3) \end{gathered}$$

一定是双射，但是却未必是群同态，而共轭作用的每一个${\varphi }_x$都是一个群同态，从而都是群同构

证明：

因为${\varphi }_a$都是双射，我们只需证明它是群同态即可（不是说$\varphi$是群同态，而是对每一个${\varphi }_a$都是群同态）
$$\forall y,z\in G,{\varphi }_a(yz)=a(yz)a^{-1}=ay{a}^{-1}az{a}^{-1}={\varphi }_a(y){\varphi }_a(z)$$
这就证明了共轭作用下每一个${\varphi }_a$都是群$G$到自身的群同构 $\square$

我们称群$G$到自身的同构映射为自同构(automorphism),而由$(3)$式定义的同构称为内自同构(inner automorphism)
$$f是群G的内自同构\iff f是G的共轭作用给出的一个自同构$$

然后我们来研究一些更加深入的东西

轨道-稳定化子定理

轨道

令
$$\begin{gathered} \varphi :G\to Perm(s) \\ {\varphi }_a(x)=a\cdot x \end{gathered}$$
是一个群作用

那么定义$s\in S$的轨道$Orb(s)$为
$$Orb(s)=\{s^{\prime }\in S|\exists x\in G,x{s}^{\prime }=s\}=\{xs|x\in G\}$$
也就是$s$在所有$x$的作用下能到达的点的集合。我们很快就能看到这个定义有什么用

所有元素$s$的轨道是集合$S$的一个划分，即

证明：

定义集合$S$上的一个二元关系
$$y\sim x\iff \exists a\in G,y=a\cdot x$$
不难验证$\sim$是一个等价关系。所以它给出$S$上的一个划分
$$\begin{gathered} \forall x\in S,\bar{x}=\{y\in S|y\sim x\} \\ =\{y\in S|\exists a\in G,y=a\cdot x\} \\ =\{a\cdot x|a\in G\} \\ =Orb(x) \end{gathered}$$
$\square$

一些杂谈

我们先来看看$T\ast X\to X$的映射$\varphi$,当然它不一定满足群作用的性质，但是这个结构本身有很多值得研究的东西

不过我们不妨还是定义$(t,x)\mapsto t\cdot x$

• 令$t\in T$，则集合
  $$\{x\in X|t\cdot x=x\}$$
  表示的是在变换t下不变的元素

• 令$K\subset T$，则集合
  $$\{x\in X|\forall t\in K,t\cdot x=x\}$$
  表示的是在$K$中所有变换$t$下都保持不变的x的集合

相对应的，我们以$x$为主视角看看

• 令$x\in X$,则集合
  $$\{t\in T|t\cdot x=x\}$$
  表示的是固定了$x$的所有变换t

• 令$A\subset X$,则集合
  $$\{t\in T|\forall x\in A,t\cdot x=x\}$$
  表示的是固定了A中所有元素$x$的t的集合

事实上，只要给定了形如$T\ast X\to X$的映射，我们都能很清晰地指出以上四个集合的内容

现在再回过头来看稳定化子。

稳定化子

定义$s\in S$的稳定化子$Stab(s)$为
$$Stab(s)=\{x\in G|xs=s\}$$
也就是固定了元素$s$的所有$x$,实际上也就是上文的第三个集合

Stab(s)

证明：

$\forall x,y\in Stab(s)$,有
$$x\cdot s=y\cdot s=s$$
从而$x^{-1}\cdot s=x^{-1}\cdot (x\cdot s)=(x^{-1}x)\cdot s=e\cdot s=s$（关键步骤）

所以
$$(y{x}^{-1})\cdot s=y(x^{-1}\cdot s)=y\cdot s=s$$
故
$$y{x}^{-1}\in Stab(s)$$
从而$Stab(s)<G$ $\square$

稍微总结一下我们就能看到一个很眼熟的东西

引理1

令$\varphi :G\to Perm(S)$是一个群作用，则 $\forall x,y\in G,s\in S,x\cdot s=y\cdot s\iff x{y}^{-1}\in Stab(s)$

这与

H$\forall x,y\in G,xH=yH\iff x{y}^{-1}\in H$

是很像的

现在我们知道$Stab(s)$里的元素保持$s$不变，我们还可以再探究一下其同一个陪集的元素对$s$的作用

引理2

$$\begin{gathered} aStab(s)=bStab(s) \\ \iff b^{-1}a\in Stab(s) \\ 由引理 \\ \iff a\cdot s=b\cdot s \end{gathered}$$

所以同一个陪集里的元素对$s$的作用是一样的

从而我们令
$$\begin{gathered} \varphi :(G/Stab(s){)}_l\to Orb(s) \\ aStab(s)\mapsto a\cdot s \end{gathered}$$
那么从而我们可以通过引理2的正向推和逆向推得到$\varphi$的合理性以及单射的性质，又由于$\varphi$显然是一个满射，从而$\varphi$是一个双射！

如次我们就证得了

轨道-稳定化子定理

令$\varphi :G\to Perm(S)$是一个群作用，则$\forall s\in S$,存在$(G/Stab(s){)}_l$到$Orb(s)$的双射

从而$|Orb(s)|=[G:Stab(s)]$

若$G$为有限群，则有**$|G|=|Orb(s)|\ast |Stab(s)|$**

举一个形象的例子

二面体群 $D_{2n}$，它是由所有正$n$边形到自身的对称变换所构成的。对称变换,就是把自身映到自身，而且是保距的。保距指的是，原先距离相同的点，变换后距离仍然相同

$|D_{2n}|=2n$

证明：

首先正n边形有n个旋转变换，以及n个对称变换（绕n个对称轴分别翻转），这样就有$2n$个元素了，我们要证明只有这些元素

任取正n边形的一个顶点$s$,考虑其轨道$Orb(s)$,最多只能到达n个顶点，而n个旋转变换就恰好可以让s到达n个不同顶点，所以$|Orb(s)|=n$

然后考虑$Stab(s)$,我们要保持$s$不变，不难发现只有两种变换满足要求，一个是恒等变换，另一个是绕s的对称轴翻转的变换，从而$Stab(s)=2$

所以$|D_{2n}|=|Orb(s)|\ast |Stab(s)|=2n$ $\square$