3.3 形式化的量子力学统计 Statistics in formalized quantum mechanics

https://www.youtube.com/watch?v=3ZQfN_T6YYc&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=37

前言

统计也是量子力学的研究中至关重要的一部分，因为量子力学研究的根本就是求解可观测量的本征性质。

1. 可观测算符

方程如下：

此时薛定谔方程的解有两种情况

• 得到的本征态是离散的

  • 
    通解：
    概率计算公式：
  • 测量
    假设测得本征值:
    计算该本征值出现的概率：

• 得到的本征态是连续的

  • 
    通解：
    概率计算公式：
  • 测量
    假设测得本征值：
    计算该本征值出现的概率：

测量相当于使波函数坍塌成对应的本征态。

2. 归一化和期望

上面得到可能的概率表达式，但是什么时候满足归一化条件呢：

• 离散

  • 归一化
    
    
    *这里只有当n=m的时候，波函数的内积才不是0，而是1。
  • 求的期望
    
    
    

• 连续

  • 归一化
    通解：

  
  同理，只有 才不等于0
  

  • 求期望
    
    
    

3. 举例

以动量算符举例：

即求解下式：

通解解：

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