LeetCode算法题解（动态规划）|LeetCode1143. 最长公共子序列、LeetCode1035. 不相交的线、LeetCode53. 最大子数组和
一、LeetCode1143. 最长公共子序列
题目链接：1143. 最长公共子序列
题目描述：
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
- 例如，
"ace"是"abcde"的子序列，但"aec"不是"abcde"的子序列。
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。
示例 1：
输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 输出：3 解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。
示例 2：
输入：text1 = "abc", text2 = "abc" 输出：3 解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。
示例 3：
输入：text1 = "abc", text2 = "def" 输出：0 解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。
提示：
1 <= text1.length, text2.length <= 1000text1和text2仅由小写英文字符组成。
算法分析：
定义dp数组及下标含义：
dp[i][j]表示在区间[0,i]之间的text1字符串，与区间[0,j]的text2字符串最长的公共子序列长度。
递推公式：
如果字符text[i]与字符text2[j]相等，那么dp[i][j]可由dp[i-1][j-1]推出来，即[0,i]之间的text1字符串与[0,j]之间text2字符串的最长公共子序列长度等于，[0,i-1]之间的text1字符串与[0,j-1]之间的text2字符串的最长公共子序列长度加一。
如果不相等，那么dp[i][j]可由两个方向推导出来：
1、[0,i-1]之间的text1字符串与[0,j]之间的text2字符串的最长公共子序列长度。
2、[0,i]之间的text1字符串与[0,j-1]之间的text2字符串的最长公共子序列长度。
所以dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])；
初始化：
因为dp[i][j]是由dp[i-1][j-1],dp[i-1][j],dp[i][j-1]三个方向推出来的，所以需要初始化最左边一列和最上边那一行。
for(int i = 0; i < text2.length(); i++){//如果dp[0][i]被初始化成1，那么后面的都需初始化成1
if(text1.charAt(0) == text2.charAt(i)){
dp[0][i] = 1;
}else if(i == 0){
dp[0][i] = 0;
}else{
dp[0][i] = dp[0][i-1];
}
}
for(int i = 0; i < text1.length(); i++){//如果dp[i][0]被初始化成1，那么后面的都需初始化成1
if(text1.charAt(i) == text2.charAt(0)){
dp[i][0] = 1;
}else if(i == 0){
dp[i][0] = 0;
}else{
dp[i][0] = dp[i-1][0];
}
}遍历顺序：
先遍历text1再遍历text2或先遍历text2再遍历text1都可以，不过都需从下标1开始往后遍历。
打印dp数组进行验证。
代码如下：
class Solution {
public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
int[][] dp = new int[text1.length()][text2.length()];
for(int i = 0; i < text2.length(); i++){
if(text1.charAt(0) == text2.charAt(i)){
dp[0][i] = 1;
}else if(i == 0){
dp[0][i] = 0;
}else{
dp[0][i] = dp[0][i-1];
}
}
for(int i = 0; i < text1.length(); i++){
if(text1.charAt(i) == text2.charAt(0)){
dp[i][0] = 1;
}else if(i == 0){
dp[i][0] = 0;
}else{
dp[i][0] = dp[i-1][0];
}
}
for(int i = 1; i < text1.length(); i++) {
for(int j = 1; j < text2.length(); j++) {
if(text1.charAt(i) == text2.charAt(j)){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
}else{
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
}
}
}
// for(int i = 0; i < text1.length(); i++) {
// for(int j = 0; j < text2.length(); j++) {
// System.out.print(dp[i][j]+" ");
// }
// System.out.println();
// }
return dp[text1.length()-1][text2.length()-1];
}
}二、LeetCode1035. 不相交的线
题目链接：1035. 不相交的线
题目描述：
在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数。
现在，可以绘制一些连接两个数字 nums1[i] 和 nums2[j] 的直线，这些直线需要同时满足满足：
-
nums1[i] == nums2[j] - 且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。
请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线。
以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数。
示例 1：
输入：nums1 = [1,4,2], nums2 = [1,2,4] 输出：2 解释：可以画出两条不交叉的线，如上图所示。 但无法画出第三条不相交的直线，因为从 nums1[1]=4 到 nums2[2]=4 的直线将与从 nums1[2]=2 到 nums2[1]=2 的直线相交。
示例 2：
输入：nums1 = [2,5,1,2,5], nums2 = [10,5,2,1,5,2] 输出：3
示例 3：
输入：nums1 = [1,3,7,1,7,5], nums2 = [1,9,2,5,1] 输出：2
提示：
1 <= nums1.length, nums2.length <= 5001 <= nums1[i], nums2[j] <= 2000
算法分析：
这道题的思路其实跟上一道题是一模一样的，要求可以绘制的不相交的最大连线数，也就是求两个数组的最大公共子序列。
定义dp数组及下标含义：
dp[i][j]表示[0,i]区间的nums1子数组和[0,j]区间的nums2子数组的最长公共子序列。
递推公式：
如果nums1[i]与nums2[j]相等，那么dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1；
如果不相等那么dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
初始化：
初始化第一列和第一行。
for(int i = 0; i < nums1.length; i++) {
if(nums1[i] == nums2[0]){
dp[i][0] = 1;
}else if(i == 0){
dp[i][0] = 0;
}else{
dp[i][0] = dp[i-1][0];
}
}
for(int i = 0; i < nums2.length; i++) {
if(nums2[i] == nums1[0]){
dp[0][i] = 1;
}else if(i == 0){
dp[0][i] = 0;
}else{
dp[0][i] = dp[0][i-1];
}
}遍历顺序：
先遍历nums1在遍历nums2或先遍历nums2在遍历nums1都可以。
打印dp数组验证。
代码如下：
class Solution {
public int maxUncrossedLines(int[] nums1, int[] nums2) {
int[][] dp = new int[nums1.length][nums2.length];
for(int i = 0; i < nums1.length; i++) {
if(nums1[i] == nums2[0]){
dp[i][0] = 1;
}else if(i == 0){
dp[i][0] = 0;
}else{
dp[i][0] = dp[i-1][0];
}
}
for(int i = 0; i < nums2.length; i++) {
if(nums2[i] == nums1[0]){
dp[0][i] = 1;
}else if(i == 0){
dp[0][i] = 0;
}else{
dp[0][i] = dp[0][i-1];
}
}
for(int i = 1; i < nums1.length; i++) {
for(int j = 1; j < nums2.length; j++) {
if(nums1[i] == nums2[j]){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
}else{
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
}
}
}
return dp[nums1.length-1][nums2.length-1];
}
}三、LeetCode53. 最大子数组和
题目链接：53. 最大子数组和
题目描述：
给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
子数组 是数组中的一个连续部分。
示例 1：
输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] 输出：6 解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。
示例 2：
输入：nums = [1] 输出：1
示例 3：
输入：nums = [5,4,-1,7,8] 输出：23
提示：
1 <= nums.length <= 105-104 <= nums[i] <= 104
算法分析：
定义dp数组及下标含义：
dp[i]表示以nums[i]结尾的子序列的最大和。
递推公式：
dp[i]可以由两个方向推出来，一个是dp[i-1]+nums[i]，以nums[i-1]结束的子序列的最大和加上第i个元素；两一个是nums[i]，重新开始一段子序列和。
初始化：
dp[0]=nums[0]。
遍历顺序：
从前往后遍历数组中的元素。
打印dp数组。
代码如下：
class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int[] dp = new int[nums.length];
dp[0] = nums[0];
int result = dp[0];//记录最大的子数组和。
for(int i = 1; i < nums.length; i++){
dp[i] = Math.max(dp[i-1] + nums[i], nums[i]);
if(dp[i] > result) result = dp[i];
}
return result;
}
}总结
前两道题很类似，只要会其中一道题，另外一道题也会迎刃而解。
第三题暴力算的话会超时，动规也不容易想出来。