图的相关概念

图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为G(V,E)，其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。

（1）线性表中我们把数据元素叫做元素，树种把数据元素叫做结点，在图中数据元素，我们则称之为顶点。

（2）线性表中可以没有数据元素，称为空表。树中可以没有结点，叫做空树。在图结构中，不允许没有顶点。

（3）线性表中，相邻的数据元素之间具有线性关系。树结构中，相邻两层的结点具有层次关系。而图中，任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以是空的。

若顶点vi到vj之间的边没有方向，则称这条边为无向边，用无序偶对(vi, vj)来表示。如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图。

若从顶点vi到vj的边有方向，则称这条边为有向边，也称为弧，用有序偶来表示，vi称为弧尾，vj称为弧头。如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图。无向边用小括号表示，而有向边则用尖括号表示。

在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。

在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有n个顶点的无向完全图有nx(n-1)/2条边。

在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。含有n个顶点的有向完全图有nx(n-1)条边。

对于具有n个顶点和e条边数的图，无向图0<=e<=nx(n-1)/2，有向图0<=e<=nx(n-1)。

有很少条边或弧的图称为稀疏图，反之称为稠密图。

有些图的边或弧具有与它相关的数字，这种与图的边或弧相关的数叫做权。这些权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。这种带权的图通常称为网。

假设有两个图G=(V, E)和G1=(V1, E1)，如果V1⊆V，E1⊆E，则称G1为G的子图。

对于无向图G=(V, E)，如果边(v, v')∈E，则称顶点v和v'互为邻接点，即v和v'相邻接。边(v, v')依附于顶点v和v'，或者说与顶点v和v'相关联。顶点v的度是和v相关联的边的数目，记为TD(v)。边数其实是各顶点度数和的一半。

对于有向图G=(V, E)，如果弧∈E，则称顶点v邻接到顶点v'，顶点v'邻接自顶点v。弧和顶点v，v'相关联。以顶点v为头的弧的数目称为v的入度，记为ID(v)。以v为尾的弧的数目称为v的出度，记为OD(v)。顶点v的度为TD(v) = ID(v) + OD(v)。

无向图G=(V,E)中从顶点v到顶点v'的路径是一个顶点序列。如果G是有向图，则路径也是有向的。树中根结点到任意结点的路径是唯一的，但是图中顶点与顶点之间的路径却不是唯一的。路径的长度是路径上的边或弧的数目。

第一个顶点到最后一个顶点相同的路径称为回路或环。序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环。

在无向图G中，如果从顶点v到顶点v'有路径，则称v和v'是连通的。如果对于任意两个顶点v, v'∈V，v和v'都是连通的，则称G是连通图。无向图中的极大连通子图称为连通分量。它强调：（1）要是子图。（2）子图要是连通的。（3）连通子图含有极大顶点数。（4）具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。

在有向图G中，如果对于每一对v, v'∈V，v != v'，从v到v'和从v'到v都存在路径，则称G是强连通图。有向图中的极大强两桶子图称做有向图的强连通分量。

一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。如果一个图有n个顶点和小于n-1条边，则是非连通图。如果它多于n-1条边，必定构成一个环。有n-1条边的不一定是生成树。

如果一个有向图恰有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度数均为1，则是一棵有向树。

一个有向图的生成森林由若干棵有向树组成，含有图中全部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有向树的弧。