Leetcode.2477 到达首都的最少油耗

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Leetcode.2477 到达首都的最少油耗 rating : 2012

题目描述

给你一棵 $n$ 个节点的树（一个无向、连通、无环图），每个节点表示一个城市，编号从 $0$ 到 $n-1$ ，且恰好有 $n-1$ 条路。$0$ 是首都。给你一个二维整数数组 $roads$ ，其中 $roads[i]=[a_i,b_i]$ ，表示城市 $a_i$ 和 $b_i$ 之间有一条 双向路 。

每个城市里有一个代表，他们都要去首都参加一个会议。

每座城市里有一辆车。给你一个整数 $seats$ 表示每辆车里面座位的数目。

城市里的代表可以选择乘坐所在城市的车，或者乘坐其他城市的车。相邻城市之间一辆车的油耗是一升汽油。

请你返回到达首都最少需要多少升汽油。

示例 1：

输入：roads = [[0,1],[0,2],[0,3]], seats = 5
输出：3
解释：

• 代表 1 直接到达首都，消耗 1 升汽油。
• 代表 2 直接到达首都，消耗 1 升汽油。
• 代表 3 直接到达首都，消耗 1 升汽油。 最少消耗 3 升汽油。

示例 2：

输入：roads = [[3,1],[3,2],[1,0],[0,4],[0,5],[4,6]], seats = 2
输出：7
解释：

• 代表 2 到达城市 3 ，消耗 1 升汽油。
• 代表 2 和代表 3 一起到达城市 1 ，消耗 1 升汽油。
• 代表 2 和代表 3 一起到达首都，消耗 1 升汽油。
• 代表 1 直接到达首都，消耗 1 升汽油。
• 代表 5 直接到达首都，消耗 1 升汽油。
• 代表 6 到达城市 4 ，消耗 1 升汽油。
• 代表 4 和代表 6 一起到达首都，消耗 1 升汽油。 最少消耗 7 升汽油。

示例 3：

输入：roads = [], seats = 1
输出：0
解释：没有代表需要从别的城市到达首都。

提示：

• $1\le n\le 10^5$
• $roads.length=n-1$
• $roads[i].length=2$
• $0\le a_i,b_i<n$
• $a_i\ne b_i$
• $roads$ 表示一棵合法的树。
• $1\le seats\le 10^5$

解法：dfs + 贪心

越靠近起点 $0$ 的边，经过的车越多，所消耗的燃料也就越多。

由于我们求得是消耗的最少的燃料，假设以点 $v$ 为根节点的子树上的所有节点都要经过边 $\{u,v\}$ 到点 $u$，子树 $v$ 的节点总数为 $cn{t}_v$，那么要让 $cn{t}_v$ 个节点都被移动到 点$u$ ，最少需要 $\lceil \frac{cn{t}_v}{seats}\rceil$ 辆车，为了用尽可能少的燃料，所以我们直接用 $\lceil \frac{cn{t}_v}{seats}\rceil$ 辆车。

那么对于 边$\{u,v\}$，一共有 $\lceil \frac{cn{t}_v}{seats}\rceil$ 辆车通过了这条边，所以一共要消耗 $\lceil \frac{cn{t}_v}{seats}\rceil$ 升燃料。

我们直接从 起点$0$ 开始遍历所有的边，记录总的燃料即可。

时间复杂度 ： $O(n)$

C++代码：

using LL = long long;

class Solution {
public:
    long long minimumFuelCost(vector<vector<int>>& roads, int seats) {
        unordered_map<int,vector<int>> g;
        int n = 0;
        for(auto &e:roads){
            int a = e[0] , b = e[1];
            n = max({a,b,n});
            g[a].push_back(b);
            g[b].push_back(a);
        }

        n++;
        //s[i] 就是以 i 为根节点的节点总数
        vector<int> s(n);
        LL ans = 0;

        function<int(int,int)> dfs = [&](int u,int fa) ->int{
            s[u] = 1;
            for(auto v:g[u]){
                if(v == fa) continue;
                s[u] += dfs(v,u);
            }
            //不统计根节点
            if(u != 0) ans += (s[u] + seats - 1) / seats;
            return s[u];
        };

        dfs(0,-1);
       

        return ans;
    }
};