欧拉函数，欧拉定理例题整理

11.20 UPDATE：

有公式

 A^x = A^(x % Phi(C) + Phi(C)) (mod C)

证明见ac神牛博客http://hi.baidu.com/aekdycoin/item/e493adc9a7c0870bad092fd9

例题 fzu 1759

欧拉函数定义：小于n且与n互素的数的个数

欧拉函数为积性函数，满足积性函数的性质，即可以通过n的素因子的函数值求得n的欧拉函数值

求值方式有两种，单个判断和打表

代码如下

int phi(int n)

{

    int res=n;

    for(int i=2;i*i<=n;i++)

    {

        if(n%i==0)

        {

            res=res-res/i;

            while(n%i==0)

                n/=i;

        }

    }
    if(n>1)
        res=res-res/n; //可能还有大于sqrt(n)的素因子

    return res;

}

//筛法范围打表  nlogn

void phi()

{

    for(int i=1;i<=maxn;i++)

        euler[i]=i;

    for(int i=2;i<=maxn;i+=2)

        euler[i]/=2;

    for(int i=3;i<=maxn;i++)

    {

        if(euler[i]==i) //未被筛到。是素数，则用此素数来筛

        {

            for(int j=i;j<=maxn;j+=i)

            {

                euler[j]=euler[j]/i*(i-1);

            }

        }

    }

    return ;

}

例题   ：poj2407（水）  poj1284   poj2773   poj2478  poj3090  poj2773

 

欧拉定理：若 a与m互质，那么 a^(euler[m]) mod(m)=1;

由于当m为素数时，euler[m]=m-1; 所以得到费马小定理：

a^(m-1) mod m=1 （m为素数）。

推论，形如 a^x-1=k*b 这样的方程 的解 x 为phi(m)或者phi(m)的约数，证明见题解

例题 ： poj3358  poj3696