acdream：Andrew Stankevich Contest 3：Two Cylinders：数值积分

Two Cylinders

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Problem Description

      In this problem your task is very simple.

      Consider two infinite cylinders in three-dimensional space, of radii R₁ and R₂ respectively, located in such a way that their axes intersect and are perpendicular.

      Your task is to find the volume of their intersection.

Input

      Input file contains two real numbers R ₁ and R ₂ (1 <= R ₁,R ₂ <= 100).

Output

      Output the volume of the intersection of the cylinders. Your answer must be accurate up to 10 ^-4.

Sample Input

1 1

Sample Output

5.3333

Source

Andrew Stankevich Contest 3

 

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算法：先积分，再套用Simpson模板即可。

至于积分，就是高数的内容了，把2个圆柱中半径比较小的设为r ₁，半径较大的设为r ₂.

我们把小圆柱的轴线重叠z轴放置，大圆柱的轴线重叠y轴放置。

假设有一个平行于yOz平面的平面截得两圆柱的相交部分，得到一个截面，这个截面的面积是多少呢？

假设截面与x轴交于点(x,0,0)，又因为是2个圆柱的相交部分，所以截面的一边长为2√(r ₁ ²-x ²)

同理,另一边长为2√(r ₂ ²-x ²)

最后得到一个积分：

8∫√(r ₁ ²-x ²)(r ₂ ²-x ²)dx

对[0,r ₁]求积分，就是结果。

 

直接积出来是很困难的，下面就是直接套Simpson模板了，写出全局函数F，其他没什么了。

 

 

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 1 #include<cstdio>

 2 #include<cmath>

 3 #include <algorithm>

 4 using namespace std;

 5 

 6 double r1,r2;

 7 

 8 // simpson公式用到的函数，就是待积分函数

 9 double F(double x)

10 {

11     return sqrt(r1*r1-x*x)*sqrt(r2*r2-x*x);

12 }

13 

14 // 三点simpson法。这里要求F是一个全局函数

15 double simpson(double a, double b)

16 {

17     double c = a + (b-a)/2;

18     return (F(a)+4*F(c)+F(b))*(b-a)/6;

19 }

20 

21 // 自适应Simpson公式（递归过程）。已知整个区间[a,b]上的三点simpson值A

22 double asr(double a, double b, double eps, double A)

23 {

24     double c = a + (b-a)/2;

25     double L = simpson(a, c), R = simpson(c, b);

26     if(fabs(L+R-A) <= 15*eps) return L+R+(L+R-A)/15.0;

27     return asr(a, c, eps/2, L) + asr(c, b, eps/2, R);

28 }

29 

30 // 自适应Simpson公式（主过程）

31 double asr(double a, double b, double eps)

32 {

33     return asr(a, b, eps, simpson(a, b));

34 }

35 

36 // 用自适应Simpson公式计算积分数值

37 double getValue()

38 {

39 

40     return asr(0, r1, 1e-5)*8; // 第一第二个参数为积分区间，第三个参数为精度

41 }

42 

43 int main()

44 {

45     while(~scanf("%lf%lf",&r1,&r2))

46     {

47         if(r1>r2)

48             swap(r1,r2);

49         printf("%.10f\n",getValue());

50     }

51     return 0;

52 }