微积分-第一章函数3

1.5 函数的奇偶性

函数的奇偶性描述的是函数的对称性。在图像上：如果一个函数是关于y轴对称，我们则称它为偶函数；如果函数是关于原点对称，则称为奇函数。

考虑函数$f(x)=x^2$,让我们画出它的图像：

我们很容易看出它是偶函数，因为它关于y轴对称。

再来看函数$f(x)=x^3$，画出它的图像。

因为它关于原点对称，所以它是奇函数。

现在，让我们从代数角度来了解函数的奇偶性。

我们说一个函数关于y轴对称，那么这意味着$f(-x)=f(x)$。这很容易可以从图像中看出。现在我们就可以用数学语言为偶函数下一个定义：
如果对于所有在函数定义域内的$x$，都有$f(-x)=f(x)$，那么这个函数就被称为偶函数。

同样的，一个函数关于直线原点对称，那么意味着$f(-x)=-f(x)$。现在我们就可以用数学语言为偶函数下一个定义：
*如果对于所有在函数定义域内的$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，那么这个函数就被称为奇函数。

一个函数可能是奇的，可能是偶的，也可能是非奇非偶的，大多数函数是非奇非偶的。只有一个函数是即奇又偶的，他就是对所有x成立的$f(x)=0$。

考虑函数$f(x)=lo{g}_{10}2x^4-3x^2$,我们怎么判断它的奇偶性呢？方法很简单，只需要将每个$x$替换成$-x$,并计算$f(-x)$。然后进行化简，如果得到$f(x)$则说明是偶函数，得到$-f(x)$则说明是奇函数。如果都不是则是非奇非偶的。
$$f(-x)=lo{g}_{10}2(-x{)}^4-3(-x{)}^2=lo{g}_{10}2x^4-3x^2=f(x)$$
因此$f(x)$是偶函数。

若函数$g$和$h$均是奇函数，那么$f(x)=h(x)g(x)$的奇偶性是什么呢？让我们从$f(-x)$开始，我们有$f(-x)=h(-x)g(-x)$。因为$g$和$h$均是奇函数，所以
$$f(-x)=(-h(x))(-g(x))=h(x)g(x)=f(x)$$
我们可以得到两个奇函数的乘积是偶函数。除此之外，我们还有，两个偶函数之积仍未偶函数，奇函数和偶函数之积是奇函数。大家可以尝试自己取证明它们。

1.6 函数的增减性

考虑函数$f(x)=2x+5$.画出它的图像

不难发现：对于函数定义域内所有的$x_1<x_2$，都有$f(x_1)<f(x_2)$。这种函数称为增函数。增函数在图像上表示为，函数从左到右的向上倾斜。

如果对于所有$x_1<x_2$，都有$f(x_1)>f(x_2)$，那么函数$f$被称为减函数。在图像上，减函数的图像是从左到右向下倾斜的。如函数$f(x)=-2x+5$