第三章：常微分方程的差分方法

写在前面
本章就是字面意思，解常微分方程，当然是特殊的情况，比如一些离散点和没办法用常规方法解的方程。

3.1 欧拉公式

欧拉公式也是具有传递性的一个公式，由上一个y的值推出下一个：

还可以用同一个形式的梯形公式表示：

这里还有一个欧拉中点公式，又称双步欧拉公式，区间是[n-1,n+1]，对应的右侧求积公式用中矩形求积公式：

来一张对比图放这儿，当公式看吧！

结合上述公式来一道例题:

直接代入公式：

3.2 改进的欧拉公式

改进的欧拉法就是再多整个式子，人多力量大，一个预测，一个矫正，就精确了：

还有另外一种格式：

还是来一道例题吧：

差分公式误差分析：
欧拉方法局部截断误差：

3.3 龙格库塔法

p级Runge-Kutta法：

当p=2时：

• 二阶龙格库塔公式：

• 三级R-K公式：

• 四级R-K公式：

这一块的题目根据公式带入值就好，来一道试试：

带入公式：

隐式R-K方法：又是p级方法

而二级隐式R-K方法，就是梯形公式：

练习

1.微分方程的数值解是给出在离散点处近似值的一张数表
2.欧拉法就是用一条以(x0,y0)为顶点的折线来近似初值问题的积分曲线，故欧拉法为欧拉折线法。正确
3.预估-矫正方法可以看作是隐式算法的一种改进算法。正确
4.哪种方法不是单步法？Euler中点法
5.R-K法的基本思想是用f(x,y(x))在区间[xn,xn+1]上若干个点处函数值的加权组合来近似计算其在该区间上的平均值。正确
6.一级R-K法就是欧拉法。正确
7.只有有限多个三级三阶R-K法。错误