数据结构-图（图的定义、分类、基本术语和存储结构）

图

---

图（Graph）是由莱昂哈德·欧拉¹在1736年首先引进的一类很重要的非线性结构，可称为图形结构或网状结构。图的应用领域非常广泛，例如：电路分析、工程规划、化合物分类、统计力学、自动化、语言学等。

一、图的定义

图G由两个集合V、E构成，V是节点的有限非空集合,E是节点的二元组集合，节点二元组称为边。V(G)和E(G)分别称为图G的节点集（顶点集）与边集，也可用G=(V,E)表示图。

线性表、树、图的差异

1. 在线性表中数据元素叫元素，在树中将数据元素叫结点，在图中数据元素称之为顶点（Vertex）。
2. 线性表中可以没有数据元素，称为空表。树中可以没有结点，叫做空树。在图结构中，不允许没有顶点。在定义中，若V是顶点的集合，则强调了顶点集合V有穷非空。
3. 线性表中，相邻的数据元素之间具有线性关系，树结构中，相邻两层的结点具有层次关系，图中任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以是空的。

二、图的分类

1. 无向图
   若顶点 V_i 到 V_j 之间的边没有方向，则称这条边为无向边（Edge），用无序偶对(V_i ,V_j)来表示。如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图（Undirected Graphs），例如图2-1所示：

图 2-1 无向图

可看出图2-1中的顶点集和边集如下：

• 顶点集：V₁={A,B,C,D}
• 边集：E₁={(A,B),(B,C),(A,C),(A,D)}

2. 有向图
   若从顶点V_i 到 V_j 的边有方向，则称这条边为有向边，也称为弧（Arc）。一般采用尖括号括起来表示，例如i ,V_j>。前者V_i称为弧尾（Tail），后者V_j称为弧头（Head）。如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图（Directed graphs），例如图2-2所示：

图 2-2 有向图

其顶点集V和弧集E如下：

• 顶点集：V₂={A,B,C,D}
• 弧集：E₂={,,,}

3. 无向完全图
   在一个具有n个顶点的无向图中，倘若每个顶点与其他n-1个顶点之间都有边相连，则会有n(n-1)/2条边，这是具有n个顶点的无向图可能的最大边数。一个具有n(n-1)/2条边的n个顶点的无向图被称为无向完全图。例如图2-3所示：

图 2-3 无向完全图

4. 有向完全图
   在一个具有n顶点的有向图中，最多可能有n(n-1)条弧，具有n(n-1)条弧的n个顶点的有向图称为完全有向图，例如图2-4所示：

图 2-3 无向完全图

5. 子图
   对于图2-4中，右侧灰色部分均为前者的子图。

图 2-4 无向完全图

6. 带权图
   在带权图中每条边都有相应的权重，称为边权值，它可以用来表示结点之间的距离或者两结点“走动”的代价，加权图又被称为网络，如图2-5所示

图 2-5 带权图

三、图的基本术语

1. 邻接
   若（V₁，V₂）是E(G)中的一条边，则称顶点V₁和V₂是相邻接（Adjacent）的顶点，称边（V₁，V₂）是依附于顶点V₁和V₂的边；
2. 路径
   顶点V_i到顶点V_j之间的连线称为路径（Path）；
3. 简单路径
   在一条路径中，如果除了第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点各不相同，则称这样的路径为简单路径；
4. 回路（环）
   若一条路径的起点和终点相同（即V_i=V_j），则称此路径为回路或者环；
5. 简单回路（简单环）
   在一个图的序列中除过第一个顶点与最后一个顶点之外，其他顶点不重复出现的回路称为简单回路或者简单环；
6. 顶点的度
   顶点的度是指依附于某顶点V_i的边数，通常记为TD(V_i)；
   顶点的入度（InDegree）是指以V_i为终点的弧的而数目，记为ID(V_i)；
   顶点的出度（OutDegree）是指以V_i为始点的弧的数目，记为OD(V_i)；
   于是有：TD(V_i) = ID(V_i)+OD(V_i)
7. 联通
   若从顶点V_i到顶点V_j（ i ≠ j ）有路径，则V_i和V_j是联通的；
8. 连通图
   在无向图中，任意两个顶点V_i和V_j都是联通的则称这样的无向图为连通图；
9. 强连通图
   在有向图中，任意一对顶点V_i和V_j（ i ≠ j ）均有从V_i到V_j和从V_j到V_i的有向路径，则称为强连通图。

四、图的存储结构

1. 邻接矩阵（Adjacency Matrex）存储法
   图的邻接矩阵存储方式是使用两个数组来表示图，其中一个是一维数组，用来保存图中的各个顶点信息，另一个是二维数组（成为邻接矩阵），用来存储图中的边或弧的信息。

图2-1所示无向图使用邻接矩阵存储如下：

图 4-1 无向图邻接矩阵

图2-2所示有向图使用邻接矩阵存储如下：

图 4-2 有向图邻接矩阵

注： 在邻接矩阵中，使用0表示两个顶点之间不相连，使用1表示两个顶点之间相连；

2. 邻接表（Adjacency Lists）存储法
   图的邻接表存储结构是一种顺序分配和链式分配相结合的存储结构。它包括两个部分：一部分是数组，另一部分是链表，数组用来每条单链表的表头，有数组的特性可知定位每条单链表的时间都是O(1)。

图2-1所示无向图使用邻接表存储如下：

图 4-3 无向图邻接表存储

图2-2所示有向图使用邻接表存储如下：

图 4-4 有向图邻接表存储

3. 逆邻接表
   在一个邻接表中，可以很轻易的得出每个结点的出度，但是，若想得到该系欸但的入度，则需要遍历整个链表。为了方便节点入度的确定，可以建立有向图的逆邻接表，逆邻接表的建立和邻接表正好相反。

图2-2所示有向图使用邻接表存储如下：

图 4-5 有向图逆邻接表存储

4. 十字链表
   十字链表是有向图的一种链式存储结构。在十字链表中，对应于有向图中的每条弧有一个结点，对应于每个顶点也有一个结点。

图 4-6 十字链表存储顶点结构

其中FirstIn用来表示入边表头指针，指向该顶点的入边表中的第一个结点，FirstOut表示出边表头指针，指向该顶点的出边表的第一个结点。

图 4-7 十字链表存储边表结点结构

其中 tailvex 是指弧起点在顶点表的下标，headvex 是指弧终点在顶点表中的下标，headlink 是指入边表指针域，指向终点相同的下一条边，taillink 是指边表指针域，指向起点相同的下一条边。

图 4-8 有向图

根据上图4-8所示有向图可得十字链表存储如下图4-8所示：

图 4-9 有向图十字链表存储

在图 4-8 中对于顶点 A 来说，它存在顶点 B 的入边，因此 A 的 FirstIn 应该指向顶点 B 的边表结点中的 headvex 为 A 的结点，如上图 4-9 中的 ①，对于顶点 B 有来自顶点 C 的入边，因此 B 的 FirstIn 应该指向顶点 C 的边表结点中 headvex 为 B 的结点，如图 4-9 中的 ②，以此类推便可得到十字链表的存储方式图。

5. 邻接多重表
   十字链表主要用来解决有向图的存储结构优化问题，对于无向图的操作如果关注重点是每个顶点，那么采用邻接表存储是一个不错的选择，但是，如果想要对其中某些边进行标记或者删除等操作时，在邻接表中需要分别找到这条边的两个边表结点进行操作，显然是比较麻烦的，所以便有了邻接多重表。

首先需要重新定义新的边表结点结构如下图 4-10所示：

图 4-10 邻接多重表边表结点结构

其中 ivex 和 jvex 是指某条边依附的两个顶点表中的下标，ilink 指向依附顶点ivex的下一条边，jlink指向依附于顶点jvex的下一条边。

根据邻接多重表的定义，可得到图 2-1 无向图的邻接多重表的存储结构如下图 4-11 所示：

图 4-11 邻接多重表边表存储结构

注：为看起来方便将边表结点的 ivex 和 jvex 写为顶点。

5. 边集数组
   边集数组是由两个一维的数组构成，其中一个用来存储顶点信息，另一个则用来存储边的信息。存储变得信息的数组中包括边的起点(begin)、终点信息(end)和边的权重(weight)三部分组成。

图 4-12 带权有向图

上图 4-15 使用边集数组存储可得顶点数组如下图 4-16 所示，边数组如图 4-17 所示：

图 4-16 顶点数组

图 4-17 边数组

⛅
(●’◡’●)
⌚

---

1. 莱昂哈德·欧拉（德语：Leonhard Euler，1707年4月15日－1783年9月18日）是一位瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一。 ↩︎