题目 1886: 蓝桥杯2017年第八届真题-包子凑数

题目

小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。他发现这家包子铺有N种蒸笼，其中第i种蒸笼恰好能放Ai个包子。每种蒸笼都有非常多笼，可以认为是无限笼。

每当有顾客想买X个包子，卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来，使得这若干笼中恰好一共有X个包子。比如一共有3种蒸笼，分别能放3、4和5个包子。当顾客想买11个包子时，大叔就会选2笼3个的再加1笼5个的（也可能选出1笼3个的再加2笼4个的）。

当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。比如一共有3种蒸笼，分别能放4、5和6个包子。而顾客想买7个包子时，大叔就凑不出来了。

小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。

输入
第一行包含一个整数N。(1 <= N <= 100)
以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100)

输出
一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个，输出INF。

样例输入

2
4
5

样例输出

6

解题思路

本题用到了裴署定理：x,y的最大公约数为d，那么ax+by(a,b均为整数)任意组合均为d的倍数。因此，如果本题输入的数据的最大公约数不等于1，那么凑不出的数目必定有无限多个。

当最大公约数等于1时，需要统计不可以凑出的数字个数。本题可以看作是一个完全背包问题，也就是N个笼子即为物品，各个物品数目可取[0,∞)，它们的容量可以看成物品质量，能组成的数字即为物品总质量/背包容量。由于题目给出A_i<=100，背包容量的搜索范围从1-10000即可。

下面分析该背包问题的动态规划的状态转移方程，由于本题不需要统计方案数，我们简化为“对于当前的前i个物品，是否存在方案，使得它们的总质量为j”，因此，在dp二维数组中，仅需存储0、1表示是否有方案即可，因此，状态转移方程可以写为：

$$\begin{array}{rlr}t& =max(dp[i-1][j-k\ast A[i]])& (k<=j/A[i])\\ dp[i][j]& =max(dp[i-1][j],(jmodA[i]==0))& \end{array}$$

最后，统计dp数组中第i行中j∈[1,10000]的0的个数即为正解。

代码

#include
int dp[101][10001];

int GCD(int a, int b){//辗转相除法求最大公因数
    int y = a%b;
    while (y){
        a = b;
        b = y;
        y = a%b;
    }
    return b;
}

int main()
{
	int i,j,k,N,temp,num=0;
	scanf("%d",&N);//笼子种类数
	int A[N+1];
	for (i=1;i<=N;i++)
	{
	    scanf("%d",&A[i]);
	    temp = (i==1)?A[i]:GCD(temp,A[i]);
    }
    if (temp==1)
    {
        for (i=A[1];i<10001;i+=A[1])
            dp[1][i] = 1;
        for (i=2;i<=N;i++)
        {
            for (j=1;j<10001;j++)
            {
                dp[i][j] = dp[i-1][j];//完全不放当前的物品
                if (j%A[i]==0)//全都放当前物品
                    dp[i][j] = 1;
                if (dp[i][j]==0)//拼凑出方案
                {
                    for (k=1;k<=(j/A[i]);k++)
                    {
                        dp[i][j] = dp[i-1][j-k*A[i]];
                        if (dp[i][j]==1)
                            break;
                    }
                }
            }
        }
        for (i=1;i<10001;i++)
            if (dp[N][i]==0)
                num++;
        printf("%d",num);
    }
    else
        printf("INF");//无限个无法凑齐
	return 0;
}