矩阵消元与逆矩阵

一、消元

消元法是求解方程组的重要手段,假设有一组方程:

\begin{bmatrix} x+ &2y +&z= &2 \\ 3x+&8y+ &z= &12 \\ & 4y+ & z= &2 \end{bmatrix}

其矩阵表达形式为

A=\begin{bmatrix} 1 &2 &1 \\ 3&8 & 1 \\ 0&4 &1 \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} 2\\ 12\\ 2 \end{bmatrix}

消元法的目的在于,通过A矩阵的行操作,削减未知数,从而求解方程组,过程如下:

A=\begin{bmatrix} 1 &2 &1 \\ 3&8 & 1 \\ 0&4 &1 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 &1 \\ 0&2 &-2 \\ 0&4 &1 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 &1 \\ 0&2 &-2 \\ 0&0 &5 \end{bmatrix}

在原始矩阵A中,我们通常选取A(1,1)作为主元,主元(pivot element),一种变元。指在消去过程中起主导作用的元素。整个消元的过程是第2行或第3行加上第1行的指定倍数。在第一步消元过后,第二行的主元出现,即‘2’,然后进行第三步,最后一行的主元是‘5’,消元完成。这种’上三角矩阵‘我们通常称为U

二、回代

从上面的操作我们可以看出,消元主要是针对A矩阵进行了行间变换,并没有B的参与。实际上用软件求解方程组的时候也是这样的,首先是验证方程组的可求解性,暂时回到“消元”环节的最后一步。

\begin{bmatrix} 1 & 2 &1 \\ 0&2 &-2 \\ 0&0 &5 \end{bmatrix}

如果上述矩阵的第三行主元‘5’这个地方,在行变换之后是‘0’,那么这一组方程无解,就不需要进行第二步‘回代'了。这里有一点重要的说明,消元的过程中,主元不能为0,如果0出现在了主元位置上,要经过行变换操作让主元位置非零,如果无法通过行变换实现所有主元不为0,放弃抢救,无解。

经过行变换确认主元没有0之后,方程组有解,所以第二步是回代,把B矩阵与A矩阵放在一起进行消元操作。因为B扩充进了A,所以这中矩阵叫做增广矩阵(augmented matrix)。

\begin{bmatrix} 1 &2 &1&2 \\ 3&8 & 1&12 \\ 0&4 &1&2 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 &1&2 \\ 0&2 &-2&6 \\ 0&4 &1&2 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 &1&2 \\ 0&2 &-2&6 \\ 0&0 &5&-10 \end{bmatrix}

此时经过行变换的方程组变成了:

\left\{\begin{matrix} x+ &2y+ &z&=2 \\ &2y- &2z&=6 \\ & &5z&=-10 \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} x=2\\ y=1\\ z=-2 \end{matrix}\right.

三、消元矩阵

经过上面好多次挪来挪去,终于完成矩阵的消元,那么是否有更加方面的方法进行消元?前面说过:

\begin{bmatrix} * & . &- \\ *&. &- \\ *& .&- \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3\\ 4\\ 5 \end{bmatrix}=3\begin{bmatrix} *\\ *\\ * \end{bmatrix}+4\begin{bmatrix} .\\ .\\ . \end{bmatrix}+5\begin{bmatrix} -\\ -\\ - \end{bmatrix}

矩阵的左乘,实际上是对被乘矩阵的行向量做线性变换。

上述的矩阵行变换消元过程为:

1.row2-3row1

2.row3-2row2

这个过程用矩阵左乘可以表示为:

1.row2-3row1\begin{bmatrix} -3 &1 &0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 &2 &1 \\ 3& 8 & 1\\ 0&4 &1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0& 2 & -2\end{bmatrix}

2.row3-2row2\begin{bmatrix} 0 &-2 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 &2 &1 \\ 0& 2 & -2\\ 0&4 &1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&0 &5 \end{bmatrix}

把操作1单独拿出来看,其实等同于A左乘了矩阵\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ -3& 1 & 0\\ 0&0 &1 \end{bmatrix}这个矩阵是为了让第2行在第1行的基础上完成行变换,因此通常将其称为E21.

把操作2单独拿出来看,其实等同于A左乘了矩阵\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& 1 & 0\\ 0&-2 &1 \end{bmatrix}这个矩阵是为了让第3行在第2行的基础上完成行变换,因此通常将其称为E32.

 因此,矩阵的行变换消元实际上可以用下式表达:

E_{21}E_{32}A=U

四、置换矩阵

矩阵的左乘是完成行变换,那么我们可以自然的想到,是不是右乘可以完成列变换呢?试一试呗

\begin{bmatrix} a &b \\ c& d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 &1 \\ 1& 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b &a \\ d& c \end{bmatrix}

五、逆矩阵

消元矩阵是根据单位矩阵\begin{bmatrix} 1 &0&0 \\ 0& 1&0\\0&0&1 \end{bmatrix}组合变换而来的,那么如何将消元矩阵变回单位阵呢?以E21为例

C\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ -3& 1 & 0\\ 0&0 &1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& 1 & 0\\ 0&0 &1 \end{bmatrix}

这里C矩阵应该取什么值,才能够让E21变回到单位矩阵呢?可以让待变换的矩阵第1行的3倍加到第2行。于是

\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 3& 1 & 0\\ 0&0 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ -3& 1 & 0\\ 0&0 &1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& 1 & 0\\ 0&0 &1 \end{bmatrix}

E_{21}^{-1}E_{21}=I

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