矩阵消元与逆矩阵

一、消元

消元法是求解方程组的重要手段，假设有一组方程：

其矩阵表达形式为

消元法的目的在于，通过A矩阵的行操作，削减未知数，从而求解方程组，过程如下：

在原始矩阵A中，我们通常选取A(1,1)作为主元，主元(pivot element)，一种变元。指在消去过程中起主导作用的元素。整个消元的过程是第2行或第3行加上第1行的指定倍数。在第一步消元过后，第二行的主元出现，即‘2’，然后进行第三步，最后一行的主元是‘5’，消元完成。这种’上三角矩阵‘我们通常称为U

二、回代

从上面的操作我们可以看出，消元主要是针对A矩阵进行了行间变换，并没有B的参与。实际上用软件求解方程组的时候也是这样的，首先是验证方程组的可求解性，暂时回到“消元”环节的最后一步。

如果上述矩阵的第三行主元‘5’这个地方，在行变换之后是‘0’，那么这一组方程无解，就不需要进行第二步‘回代'了。这里有一点重要的说明，消元的过程中，主元不能为0，如果0出现在了主元位置上，要经过行变换操作让主元位置非零，如果无法通过行变换实现所有主元不为0，放弃抢救，无解。

经过行变换确认主元没有0之后，方程组有解，所以第二步是回代，把B矩阵与A矩阵放在一起进行消元操作。因为B扩充进了A，所以这中矩阵叫做增广矩阵（augmented matrix)。

此时经过行变换的方程组变成了：

三、消元矩阵

经过上面好多次挪来挪去，终于完成矩阵的消元，那么是否有更加方面的方法进行消元？前面说过：

矩阵的左乘，实际上是对被乘矩阵的行向量做线性变换。

上述的矩阵行变换消元过程为：

1.row2-3row1

2.row3-2row2

这个过程用矩阵左乘可以表示为：

1.row2-3row1

2.row3-2row2

把操作1单独拿出来看，其实等同于A左乘了矩阵这个矩阵是为了让第2行在第1行的基础上完成行变换，因此通常将其称为.

把操作2单独拿出来看，其实等同于A左乘了矩阵这个矩阵是为了让第3行在第2行的基础上完成行变换，因此通常将其称为.

 因此，矩阵的行变换消元实际上可以用下式表达：

四、置换矩阵

矩阵的左乘是完成行变换，那么我们可以自然的想到，是不是右乘可以完成列变换呢？试一试呗

五、逆矩阵

消元矩阵是根据单位矩阵组合变换而来的，那么如何将消元矩阵变回单位阵呢？以E21为例

这里C矩阵应该取什么值，才能够让E21变回到单位矩阵呢？可以让待变换的矩阵第1行的3倍加到第2行。于是

即