洛谷 P8794 [蓝桥杯 2022 国 A] 环境治理

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  • [蓝桥杯 2022 国 A] 环境治理
    • 题目链接
    • 题目描述
    • 输入格式
    • 输出格式
    • 样例 #1
      • 样例输入 #1
      • 样例输出 #1
    • 提示
  • 思路解析
  • CODE
  • 给点思考



[蓝桥杯 2022 国 A] 环境治理

题目链接

https://www.luogu.com.cn/problem/P8794

题目描述

LQ 国拥有 n n n 个城市,从 0 0 0 n − 1 n - 1 n1 编号,这 n n n 个城市两两之间都有且仅有一条双向道路连接,这意味着任意两个城市之间都是可达的。每条道路都有一个属性 D D D,表示这条道路的灰尘度。当从一个城市 A 前往另一个城市 B 时,可能存在多条路线,每条路线的灰尘度定义为这条路线所经过的所有道路的灰尘度之和,LQ 国的人都很讨厌灰尘,所以他们总会优先选择灰尘度最小的路线。

LQ 国很看重居民的出行环境,他们用一个指标 P P P 来衡量 LQ 国的出行环境, P P P 定义为:

P = ∑ i = 0 n − 1 ∑ j = 0 n − 1 d ( i , j ) P=\sum \limits_{i=0}^{n-1} \sum \limits_{j=0}^{n-1} d(i,j) P=i=0n1j=0n1d(i,j)

其中 d ( i , j ) d(i,j) d(i,j) 表示城市 i i i 到城市 j j j 之间灰尘度最小的路线对应的灰尘度的值。

为了改善出行环境,每个城市都要有所作为,当某个城市进行道路改善时,会将与这个城市直接相连的所有道路的灰尘度都减少 1 1 1,但每条道路都有一个灰尘度的下限值 L L L,当灰尘度达到道路的下限值时,无论再怎么改善,道路的灰尘度也不会再减小了。

具体的计划是这样的:

  • 1 1 1 天, 0 0 0 号城市对与其直接相连的道路环境进行改善;
  • 2 2 2 天, 1 1 1 号城市对与其直接相连的道路环境进行改善;

……

  • n n n 天, n − 1 n - 1 n1 号城市对与其直接相连的道路环境进行改善;
  • n + 1 n + 1 n+1 天, 0 0 0 号城市对与其直接相连的道路环境进行改善;
  • n + 2 n + 2 n+2 天, 1 1 1 号城市对与其直接相连的道路环境进行改善;

……

LQ 国想要使得 P P P 指标满足 P ≤ Q P \leq Q PQ。请问最少要经过多少天之后, P P P 指标可以满足 P ≤ Q P \leq Q PQ。如果在初始时就已经满足条件,则输出 0 0 0;如果永远不可能满足,则输出 − 1 -1 1

输入格式

输入的第一行包含两个整数 n , Q n, Q n,Q,用一个空格分隔,分别表示城市个数和期望达到的 P P P 指标。

接下来 n n n 行,每行包含 n n n 个整数,相邻两个整数之间用一个空格分隔,其中第 i i i 行第 j j j 列的值 D i , j ( D i , j = D j , i , D i , i = 0 ) D_{i,j} (D_{i,j}=D_{j,i},D_{i,i} = 0) Di,j(Di,j=Dj,i,Di,i=0) 表示城市 i i i 与城市 j j j 之间直接相连的那条道路的灰尘度。

接下来 n n n 行,每行包含 n n n 个整数,相邻两个整数之间用一个空格分隔,其中第 i i i 行第 j j j 列的值 L i , j ( L i , j = L j , i , L i , i = 0 ) L_{i,j} (L_{i,j} = L_{j,i}, L_{i,i} = 0) Li,j(Li,j=Lj,i,Li,i=0) 表示城市 i i i 与城市 j j j 之间直接相连的那条道路的灰尘度的下限值。

输出格式

输出一行包含一个整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

3 10
0 2 4
2 0 1
4 1 0
0 2 2
2 0 0
2 0 0

样例输出 #1

2

提示

【样例说明】

初始时的图如下所示,每条边上的数字表示这条道路的灰尘度:

洛谷 P8794 [蓝桥杯 2022 国 A] 环境治理_第1张图片

此时每对顶点之间的灰尘度最小的路线对应的灰尘度为:

  • d ( 0 , 0 ) = 0 , d ( 0 , 1 ) = 2 , d ( 0 , 2 ) = 3 d(0, 0) = 0, d(0, 1) = 2, d(0, 2) = 3 d(0,0)=0,d(0,1)=2,d(0,2)=3
  • d ( 1 , 0 ) = 2 , d ( 1 , 1 ) = 0 , d ( 1 , 2 ) = 1 d(1, 0) = 2, d(1, 1) = 0, d(1, 2) = 1 d(1,0)=2,d(1,1)=0,d(1,2)=1
  • d ( 2 , 0 ) = 3 , d ( 2 , 1 ) = 1 , d ( 2 , 2 ) = 0 d(2, 0) = 3, d(2, 1) = 1, d(2, 2) = 0 d(2,0)=3,d(2,1)=1,d(2,2)=0

初始时的 P P P 指标为 ( 2 + 3 + 1 ) × 2 = 12 (2 + 3 + 1) \times 2 = 12 (2+3+1)×2=12,不满足 P ≤ Q = 10 P \leq Q = 10 PQ=10;

第一天, 0 0 0 号城市进行道路改善,改善后的图示如下:

洛谷 P8794 [蓝桥杯 2022 国 A] 环境治理_第2张图片

注意到边 ( 0 , 2 ) (0, 2) (0,2) 的值减小了 1 1 1,但 ( 0 , 1 ) (0, 1) (0,1) 并没有减小,因为 L 0 , 1 = 2 L_{0,1} = 2 L0,1=2 ,所以 ( 0 , 1 ) (0, 1) (0,1) 的值不可以再减小了。此时每对顶点之间的灰尘度最小的路线对应的灰尘度为:

  • d ( 0 , 0 ) = 0 , d ( 0 , 1 ) = 2 , d ( 0 , 2 ) = 3 d(0, 0) = 0, d(0, 1) = 2, d(0, 2) = 3 d(0,0)=0,d(0,1)=2,d(0,2)=3
  • d ( 1 , 0 ) = 2 , d ( 1 , 1 ) = 0 , d ( 1 , 2 ) = 1 d(1, 0) = 2, d(1, 1) = 0, d(1, 2) = 1 d(1,0)=2,d(1,1)=0,d(1,2)=1
  • d ( 2 , 0 ) = 3 , d ( 2 , 1 ) = 1 , d ( 2 , 2 ) = 0 d(2, 0) = 3, d(2, 1) = 1, d(2, 2) = 0 d(2,0)=3,d(2,1)=1,d(2,2)=0

此时 P P P 仍为 12 12 12

第二天,1 号城市进行道路改善,改善后的图示如下:

洛谷 P8794 [蓝桥杯 2022 国 A] 环境治理_第3张图片

此时每对顶点之间的灰尘度最小的路线对应的灰尘度为:

  • d ( 0 , 0 ) = 0 , d ( 0 , 1 ) = 2 , d ( 0 , 2 ) = 2 d(0, 0) = 0, d(0, 1) = 2, d(0, 2) = 2 d(0,0)=0,d(0,1)=2,d(0,2)=2
  • d ( 1 , 0 ) = 2 , d ( 1 , 1 ) = 0 , d ( 1 , 2 ) = 0 d(1, 0) = 2, d(1, 1) = 0, d(1, 2) = 0 d(1,0)=2,d(1,1)=0,d(1,2)=0
  • d ( 2 , 0 ) = 2 , d ( 2 , 1 ) = 0 , d ( 2 , 2 ) = 0 d(2, 0) = 2, d(2, 1) = 0, d(2, 2) = 0 d(2,0)=2,d(2,1)=0,d(2,2)=0

此时的 P P P 指标为 ( 2 + 2 ) × 2 = 8 < Q (2 + 2) \times 2 = 8 < Q (2+2)×2=8<Q,此时已经满足条件。

所以答案是 2 2 2

【评测用例规模与约定】

  • 对于 30 % 30\% 30% 的评测用例, 1 ≤ n ≤ 10 1 \leq n \leq 10 1n10 0 ≤ L i , j ≤ D i , j ≤ 10 0 \leq L_{i,j} \leq D_{i,j} \leq 10 0Li,jDi,j10
  • 对于 60 % 60\% 60% 的评测用例, 1 ≤ n ≤ 50 1 \leq n \leq 50 1n50 0 ≤ L i , j ≤ D i , j ≤ 1 0 5 0 \leq L_{i,j} \leq D_{i,j} \leq 10^5 0Li,jDi,j105
  • 对于所有评测用例, 1 ≤ n ≤ 100 1 \leq n \leq 100 1n100 0 ≤ L i , j ≤ D i , j ≤ 1 0 5 0 \leq L_{i,j} \leq D_{i,j} \leq 10^5 0Li,jDi,j105 0 ≤ Q ≤ 2 31 − 1 0 \leq Q \leq 2^{31} - 1 0Q2311

蓝桥杯 2022 国赛 A 组 F 题。



思路解析

很显然是一道 F l o y d Floyd Floyd,可以直接算出多源最短路各点权值。

但是还有个问题:清洁道路减少的灰尘度怎么算?如果按顺序每天更新道路灰尘度,复杂度为 O ( n 3 × k ) O(n^3 \times k) O(n3×k) k k k 为天数,当很显然可能超时,那我们怎么知道最少需要多少天呢?

  • 一开始我想用队列来存权值变化的节点,然后更新其他节点值再入队来达到更新所有节点最短路的问题,但是失败了,因为这样就变成了针对队头节点的单源最短路了。

那么应该怎么办?答案是:二分
我们可以发现:随着天数增加,街道灰尘度单调不增,所以可以用二分来猜答案,每次二分更新街道灰尘度,然后进行 F l o y d Floyd Floyd。这样复杂度就是 O ( n 3 ⋅ l o g k ) O(n^3·logk) O(n3logk),能过。


CODE

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f 

using namespace std;

typedef pair<int, int> pii;

const int N = 110;
int n, Q; // n 是城市的数量,Q 是灰尘度之和的限制
int d[N][N], g[N][N], mini[N][N]; // d[i][j] 表示第 i 个城市和第 j 个城市之间的灰尘度,g[i][j] 表示初始的灰尘度,mini[i][j] 表示最小的灰尘度

void floyd(){ // 弗洛伊德算法,用于更新所有城市之间的最短路径(即最小灰尘度)
    for(int k = 1; k <= n; ++k)
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            for(int j = 1; j <= n; ++j)
                d[i][j] = min(d[i][j], 
                    (d[i][k] == INF || d[k][j] == INF) ? INF : d[i][k] + d[k][j]);
}

int all(){ // 计算所有城市之间的灰尘度之和
    int res = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = 1; j <= n; ++j)
            res += d[i][j];
            
    return res;
}

bool check(int x){ // 检查给定的清洁人数和城市编号是否满足条件
    int clean = x / n; // 清洁人数
    int city = x % n; // 城市编号
    
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = 1; j <= n; ++j)
            d[i][j] = g[i][j]; // 恢复初始的灰尘度
    
    if(x){        
        for(int i = 1; i <= n; ++i){
            for(int j = 1; j <= n; ++j){
                int dif;
                if(i <= city) dif = clean + 1; // 如果城市编号小于等于给定的编号,那么清洁人数加一
                else dif = clean;
                
                d[i][j] = max(d[i][j] - dif, mini[i][j]); // 更新灰尘度,不能低于最小值
                d[j][i] = max(d[j][i] - dif, mini[j][i]);
            }
        }
    }
    
    floyd(); // 更新最短路径
    
    if(all() > Q) return false; // 如果灰尘度之和超过限制,返回 false
    else return true;
}

int main(){
    cin >> n >> Q; // 输入城市数量和限制
    
    int dis;
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        for(int j = 1; j <= n; ++j){
            scanf("%d", &dis); // 输入初始的灰尘度
            g[i][j] = dis;
        }
    }
        
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        for(int j = 1; j <= n; ++j){
            scanf("%d", &dis); // 输入最小的灰尘度
            mini[i][j] = dis;
        }
    }
    
    int l = 0, r = INF, flag = 0, ans = -1;
    while(l < r){ // 使用二分搜索来找到最小的清洁人数和城市编号
        int mid = (l + r) >> 1;
        
        if(check(mid)) r = mid, ans = mid; // 如果满足条件,那么更新右边界和答案
        else l = mid + 1; // 否则更新左边界
    }
    
    printf("%d\n", ans); // 输出答案
}

给点思考

  • 二分这步很妙,看似简单,但是想到不太容易,还是蒟蒻我练少了 >_<
  • 每次更新街道的灰尘度,由于是无向图,所以要将双向边都更新。

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