最大连续子序列和（最大子数组和）四种最详细的解法

问题描述：给一个数组，有正有负，求其连续子序列的最大值

解法1：穷举暴力法
枚举左端点跟右端点，然后遍历更新所有的子序列和，最终得到结果就是最大的

#include 
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
int a[N],b[N]; 
int n ;
int ans ;
const int INF = 0x3f3f3f;  
int main()
{
	int n;
	cout<<"please input size"<<endl;
	cin>>n;
	cout<<"please input data"<<endl;
	for(int i =1;i<=n;++i)
	{
		cin>>a[i];
	}
    int ans = -INF;
    for(int i =1;i<=n;++i)
    {
        for(int j =i;j<=n;++j)
        {
        	
            int sum = 0;
  
            for(int k=i;k<=j;++k)
            {
                sum+=a[k];
            }
    
            ans = max(ans,sum);
        }

    }

    cout<<ans<<endl;
    return 0;
   
}

解法2：单调队列求解

思路：维护一个单调递增的前缀和队列，队首元素是整个序列的最小值，维护队列的同时，用前缀和的元素减去这个最小值，得到值最大，为这数组的子序列的最大值

#include 
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
int a[N],b[N]; 
int n ;
int ans ;
const int INF = 0x3f3f3f; 
deque<int> q;
int main()
{
	int n;
	cout<<"please input size"<<endl;
	cin>>n;
	cout<<"please input data"<<endl;
	for(int i =1;i<=n;++i)
	{
		cin>>a[i];
	}
	q.push_back(0),b[0] = 0;
	for(int i =1;i<=n;++i)
	{
		b[i] = b[i-1]+a[i];
		
		ans = max(ans,b[i]-b[q.front()]);
		
		while(!q.empty()&&b[i]<=b[q.back()])
			q.pop_back();
		q.push_back(i);
	}
	cout<<ans<<endl;
    return 0;
   
}

解法3：分治法
思路：分三种情况讨论
1.计算left到k的和的和，记作left_sum;
2.计算k+1到right的和，记作right_sum;
3.跨边界和，以k为中心向两边分别求和
1.从中心向左扩张一步，记录当前sum1，并于上一步对比， 若大于，则更新left
2.从中心向右扩张一步，记录当前sum2，并于上一步对比， 若大于，则更新right
3.计算连续字段和 sum = sum1+sum2;
计算完后，取三者最大值

#include 
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
int a[N],b[N], dp[N];;
int n ;
int ans ;
const int INF = 0x3f3f3f; 

int solve4(int l,int r)
{
	if(l==r)
		return a[l];
	int mid = (l+r)>>1;
	int left_sum = solve4(l,mid);
	int right_sum = solve4(mid+1,r);
	int sum1=0,sum2=0,s1=0,s2=0;
	//閿熸枻鎷烽敓绔枻鎷烽敓锟?
	for(int i =mid;i>=l;--i)
	{
		s1+=a[i];
		sum1=max(sum1,s1);
	}
	for(int i =mid+1;i<=r;++i)
	{
		s2 +=a[i];
		sum2 = max(sum2,s2);
	}
	int sum = sum1+sum2;

	return max(max(left_sum,right_sum),sum);
}

int main()
{
	int n;
	cout<<"please input size"<<endl;
	cin>>n;
	cout<<"please input data"<<endl;
	for(int i =1;i<=n;++i)
	{
		cin>>a[i];
	}
   
	int ans = solve4(1,n);
	cout<<ans<<endl;
	 system("pause");
    return 0;
   
}

4.动态规划
思路：这已经是可以用动态规划思想去考虑的最简单的问题了， 每一步的决策无非就是，是否继续把下一个元素加入当前的子段.
动态规划大显身手。我们开一个数组dp[] , 记录dp[i]表示以a[i]结尾的 全部子段中 最大的那个的 和。 这样我们就可以根据它dp[i] 的正负，去考虑是否把下一个元素加入到当前的子段。 如果dp[i] 是负数，那么我们为什不从a[i+1]新维护一个子段呢？ 如果dp[i] 是正数，那么显然可以继续把a[i+1] 加入到当前的子段。
最后我们只需要找出所有最大子段中，最大的那个。

#include 
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
int a[N],b[N], dp[N];;
int n ;
int ans ;
const int INF = 0x3f3f3f; 

int main()
{
	int n;
	cout<<"please input size"<<endl;
	cin>>n;
	cout<<"please input data"<<endl;
	for(int i =1;i<=n;++i)
	{
		cin>>a[i];
	}
	dp[1] = a[1];
	int ans =0;
	for(int i =2;i<=n;++i)
	{
		if(dp[i-1]>0)
			dp[i] =dp[i-1] + a[i];
		else
			dp[i] = a[i];
		ans = max(ans,dp[i]);
	}
	cout<<ans<<endl;

	 system("pause");
    return 0;
   
}