Myers’Diff之线性空间细化

Myers'diff

美图

前言

在学习完上一篇文章Myers'Diff之贪婪算法 之后，我对Android源码中的DiffUtil类进行了阅读发现其算法的实现和文章中的方式并不尽相同，而是在其基础之上再次进行的优化。所以本篇文章是以上一篇Myers'Diff之贪婪算法 文章内容基础之上对它的变体进行再次研究的过程。

上一篇文章Myers'Diff之贪婪算法 讲述diff怎么从一个抽象的问题转化为数学问题，并对一些名词做了专有的定义（为解决问题的过程提供辅助），Myers'Diff之贪婪算法讲述了利用辅助的k线进行迭代求解，整改过程并不考虑时间和空间的消耗。所以这篇文章主要是在其基础之上进行时间和空间复杂度的优化。

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@TOC

逆向算法

Myers'Diff之贪婪算反 是从(0,0)到(N,M)进行移动的，它的反向工作是从(N,M)到(0,0)。

在这里插入图片描述

从该图可以看出，该解决方案不同于通过向前工作而生成的解决方案，但是其LCS和SES的长度相同。 但这是完全正确的，因为通常可以有许多等效的解决方案，并且该算法只是选择找到的第一个解决方案。

Delta

因为序列A和B的长度可以不同，所以正向和反向算法的k线可以不同。 将此差异作为变量delta = N-M隔离是有用的。在示例中，N = 7和M = 6给出了delta =1。这是从前k行到后k行的偏移量。 您可以说正向路径以k = 0为中心，反向路径以k = delta为中心。

Middle Snake

可以对D的连续值同时运行正向和反向算法。在D的某个值处，两条路径将在k线上重叠。 本文证明这些路径之一是解决方案的一部分。 由于它将位于中间的某个地方，因此称为中间路径。

该示例的中间路径在此图中以粉红色显示：

在这里插入图片描述

这很有用，因为它将问题分为两部分，然后可以分别递归解决。
这在空间上是线性的，因为只有最后的V向量必须存储，给出O（D）。对于时间，此线性算法仍为O（（N + M）D）。

这也有助于找到中间路径，其D必须是正向和反向算法D的一半。这意味着随着D的增加，所需时间接近基本算法的一半。

伪代码：

for d = 0 to ( N + M + 1 ) / 2
{
  for k = -d to d step 2
  {
    calculate the furthest reaching forward and reverse paths
    if there is an overlap, we have a middle snake
  }
}

Odd and Even Deltas

每个差异水平删除或垂直插入都是从k行移到其相邻行。由于增量是正向和反向算法中心之间的差异，因此我们知道需要检查中间路径的d值。

对于奇数增量，我们必须寻找差异为d的前向路径与差异为d-1的反向路径重叠。
下图显示，对于delta = 3，当正向d为``2而反向d为1时发生重叠：

在这里插入图片描述

类似地，对于偶数增量，当正向和反向路径的差异数相同时，就会出现重叠。
下图显示，对于delta = 2，当正向和反向 的 d均为2时，发生重叠：

在这里插入图片描述

因此，这是查找中间路径的完整伪代码：

delta = N - M
for d = 0 to ( N + M + 1 ) / 2
{
  for k = -d to d step 2
  {
    calculate the furthest reaching forward path on line k
    if delta is odd and ( k >= delta - ( d - 1 ) and k <= delta + ( d - 1 ) )
      if overlap with reverse[ d - 1 ] on line k
        => found middle snake and SES of length 2D - 1
  }
  
  for k = -d to d step 2
  {
    calculate the furthest reaching reverse path on line k
    if delta is even and ( k >= -d - delta and k <= d - delta )
      if overlap with forward[ d ] on line k
        => found middle snake and SES of length 2D
  }
}

• (N+M+1) / 2 从两端同时出发，意味着外循环次数大于等于最长路径的二分之一；
• 如果delta 是偶数那么中间路径在向前的方向中出现；
• 如果delta 是偶数那么中间路径在向后的方向中出现；

递归解决

我们需要以递归方法包装中间路径算法。基本上，我们需要找到一条中间的路径，然后求解保留在左上角和右下角的矩形。

伪代码：

Compare( A, N, B, M )
{
  if ( M == 0 && N > 0 ) add N deletions to SES
  if ( N == 0 && M > 0 ) add M insertions to SES
  if ( N == 0 || M == 0 ) return  
  calculate middle snake
  suppose it is from ( x, y ) to ( u, v ) with total differences D
  if ( D > 1 )
  {
    Compare( A[ 1 .. x ], x, B[ 1 .. y ], y ) // top left
    Add middle snake to results
    Compare( A[ u + 1 .. N ], N - u, B[ v + 1 .. M ], M - v ) // bottom right
  }
  else if ( D == 1 ) // must be forward snake
  {
    Add d = 0 diagonal to results
    Add middle snake to results
  }
  else if ( D == 0 ) // must be reverse snake
  {
    Add middle snake to results
  }
}

我将在稍后解释几个边缘情况。

Edge case

上面的伪代码需要考虑两个边界case，d=0和d=1。

如果中间路径算法找到D = 0的解，则两个序列相同。这意味着增量为零，即为偶数。因此，中间路径是一条正好匹配（对角线）的反向路径。因此，我们要做的就是将这条路径添加到结果中。

在这里插入图片描述

如果中间的路径算法找到D = 1的解，那么就存在一个插入或删除。这意味着delta是1或-1，这是奇数，因此中间的路径是前向路径。 对于这种情况，我们可以通过计算d = 0对角线并将其与中间路径一起添加到结果中来完成解决方案。

在这里插入图片描述

总结对比

这次的优化还是以递归方法进行的，与Myers'Diff之贪婪算法 的递归不同的是。这次的递归我们需要找到一条中间的路径，然后进行左上角和右下角的矩形拆分，将拆分之后的矩形再进行递归。O((M+N)lg(M+N)+D2) 为最坏的情况。时间约为 O(N + M)D) 其D必须是正向和反向算法 D的一半。这意味着随着D的增加，所需时间接近基本算法的一半。

算法实践：DiffUtil和它的差量算法

参考链接：
代码:diff-match-patch
diff2论文
Myers diff alogrithm:part 1
Myers diff alogrithm:part 2

文章到这里就全部讲述完啦，若有其他需要交流的可以留言哦_！！