图论专栏一《图的基础知识》

图论（Graph Theory）是数学的一个分支。它以图为研究对象。图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些实体之间的某种特定关系，用点代表实体，用连接两点的线表示两个实体间具有的某种关系。
相比矩阵、张量、序列等结构，图结构可以有效建模和解决社会关系、交通网络、文法结构和论文引用等需要考虑实体间关系的各种实际问题。因此，为了能够有效利用图结构这种工具，我们必须要对图的定义、类型和性质有一定的认识。

 概念

图是由顶点（vertex）和边（edge）组成的数据结构

如下图：

节点（node）用红色标出，通过黑色的边（edge）连接。

图可用于表示：

• 社交网络
• 网页
• 生物网络
• …

我们可以在图上执行怎样的分析？

• 研究拓扑结构和连接性
• 群体检测
• 识别中心节点
• 预测缺失的节点
• 预测缺失的边
• …

为了方便大家的学习，下面我先来介绍一下图的基本术语。

基本术语

图的分类

有向图（Directed Graph）：

• 在有向图中，每条边都有一个方向，从一个顶点指向另一个顶点。
• 如果顶点 A 到顶点 B 有一条有向边，则我们称顶点 A 直接指向顶点 B。这意味着从顶点 A 出发可以到达顶点 B，但反之则不一定成立。
• 有向图常用于表示具有方向性关系的问题，例如交通流向、网页链接、任务依赖关系等。

无向图（Undirected Graph）：

• 在无向图中，边没有方向，即连接两个顶点的边可以被看作是双向的。
• 如果顶点 A 与顶点 B 之间有一条边，那么顶点 A 与顶点 B 之间是相互连通的，可以双向移动。
• 无向图常用于表示无方向性关系的问题，例如社交网络中的好友关系、道路交通图等。

无向完全图：无向图中，任意两个顶点之间都存在边。

有向完全图：有向图中，任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧。

简单图：图中不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现。

稀疏图：有很少条边。

稠密图：有很多条边。

子图（Subgraph）：假设G=（V,{E}）和G‘=（V',{E'}），如果V'包含于V且E'包含于E，则称G'为G的子图。

边

边：顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以是空的。

无向边(Edge)：若顶点V1到V2之间的边没有方向，则称这条边为无向边。

无向图(Undirected graphs)：图中任意两个顶点之间的边都是无向边。（A,D）=（D,A）

    对于无向图G来说，G1=（V1,{E1}），其中顶点集合V1={A,B,C,D}；边集和E1={（A,B），（B,C），（C,D），（D,A），（A,C）}

有向边：若从顶点V1到V2的边有方向，则称这条边为有向边，也称弧(Arc)。用表示，V1为弧尾(Tail)，V2为弧头(Head)。（V1，V2）≠（V2，V1）。

度

度是指与该顶点相邻的边的数量。

例如上图图中

• A、B、C、E、F 这几个顶点度数为 2

• D 顶点度数为 4

有向图中，细分为入度和出度，参见下图

分析上图可知个顶点的出度与入度如下：

• A (2 out / 0 in)   两个出度，没有入度

• B、C、E (1 out / 1 in)

• D (2 out / 2 in)

• F (0 out / 2 in)

权

边可以有权重，代表从源顶点到目标顶点的距离、费用、时间或其他度量。

路径

路径被定义为从一个顶点到另一个顶点的一系列连续边，例如上图中【北京】到【上海】有多条路径。

• 北京 - 上海

• 北京 - 武汉 - 上海

路径长度

• 不考虑权重，长度就是边的数量

• 考虑权重，一般就是权重累加

环

在有向图中，从一个顶点开始，可以通过若干条有向边返回到该顶点，那么就形成了一个环。

如下图：

图的连通性

如果两个顶点之间存在路径，则这两个顶点是连通的，所有顶点都连通，则该图被称之为连通图，若子图连通，则称为连通分量。

graph LR
    A --- B
    A --- C
    C --- D
    D --- E
    B --- E
    F --- G
    G --- H
    H --- F
    I --- J

根据上面给出的点与点之间的连通性，可得出下图：

强连通分量：有向图中的极大强连通子图。

生成树：无向图中连通且n个顶点n-1条边叫生成树。

有向树：有向图中一顶点入度为0其余顶点入度为1。

森林：一个有向图由若干棵有向树构成生成森林。

图的表示方法

图可以用邻接矩阵和邻接表表示

比如说，下面的图

用邻接矩阵可以表示为：

  A B C D
A 0 1 1 0
B 1 0 0 1 
C 1 0 0 1
D 0 1 1 0

用邻接表可以表示为：

A -> B -> C
B -> A -> D
C -> A -> D
D -> B -> C

有向图的例子:

graph LR
    A--->B
    A--->C
    B--->D
    C--->D

用邻接矩阵可以表示为：

    A  B  C  D
A  0  1  1   0
B  0  0  0   1
C  0  0  0   1
D  0  0  0   0

用邻接表可以表示为：

A - B - C
B - D
C - D
D - empty

图的存储结构

邻接矩阵

邻接矩阵：用两个数组，一个数组保存顶点集，一个数组保存边集。

无向图

无向图的邻接矩阵如图

代码示例

我们先将表示顶点和边的类定义出来

假设顶点的类型为 Vertex：

class Vertex {
    int value;
    // 其他顶点属性
}

假设边的类型为 Edge：

class Edge {
    int startVertexId;
    int endVertexId;
    // 其他边属性
}

class Graph {
    Vertex[] vertices;
    Edge[] edges;
    int[][] adjacencyMatrix;

    public Graph(Vertex[] vertices, Edge[] edges) {
        this.vertices = vertices;
        this.edges = edges;
        this.adjacencyMatrix = new int[vertices.length][vertices.length];

        // 初始化邻接矩阵，将相应位置设为 1 表示边的连接关系
        for (Edge edge : edges) {
            adjacencyMatrix[edge.startVertexId][edge.endVertexId] = 1;
            // 如果是无向图还需要设置对称位置
            adjacencyMatrix[edge.endVertexId][edge.startVertexId] = 1;
        }
    }
}

有向图

有向图的邻接矩阵如图

代码示例

class Digraph {
    Vertex[] vertices;
    Edge[] edges;
    int[][] adjacencyMatrix;

    public Digraph(Vertex[] vertices, Edge[] edges) {
        this.vertices = vertices;
        this.edges = edges;
        this.adjacencyMatrix = new int[vertices.length][vertices.length];

        // 初始化邻接矩阵，将相应位置设为 1 表示边的连接关系
        for (Edge edge : edges) {
            adjacencyMatrix[edge.startVertexId][edge.endVertexId] = 1;
        }
    }
}

邻接表

邻接表：数组与链表相结合的存储方法。

邻接表表示法(链式)表示如下图：

• 顶点： 按编号顺序将顶点数据存储在一维数组中。
• 关联同一顶点的边： 用线性链表存储。
• 如果有边\弧的信息，还可以在表结点中增加一项，

无向图

无向图的邻接表如下图：

特点：

• 邻接表不唯一
• 若无向图中有n个顶点、e条边，则其邻接表需要n个头结点和2e个表结点。适宜存储稀疏图。
• 无向图中顶点vi的度为第i个单链表中的结点数
   

代码示例

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

class Graph {
    int numVertices;
    List> adjacencyList;

    public Graph(int numVertices) {
        this.numVertices = numVertices;
        this.adjacencyList = new ArrayList<>(numVertices);

        // 初始化邻接表
        for (int i = 0; i < numVertices; i++) {
            adjacencyList.add(new ArrayList<>());
        }
    }

    public void addEdge(int src, int dest) {
        // 添加双向边的连接关系
        adjacencyList.get(src).add(dest);
        adjacencyList.get(dest).add(src);
    }
}

有向图

特点：

• 顶点vi的出度为第i个单链表中的结点个数。
• 顶点vi的入度为整个单链表中邻接点域值是i-1的结点个数。
• 找出度易，找入度难

逆邻接表：

逆邻接表特点：

• 顶点vi​的入度为第i个单链表中的结点个数。
• 顶点vi的出度为整个单链表中邻接点域值是i-1的结点个数。
• 找入度易，找出度难。

当邻接表的存储结构形成后，图便唯一确定。

代码示例：

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

class Digraph {
    int numVertices;
    List> adjacencyList;

    public Digraph(int numVertices) {
        this.numVertices = numVertices;
        this.adjacencyList = new ArrayList<>(numVertices);

        // 初始化邻接表
        for (int i = 0; i < numVertices; i++) {
            adjacencyList.add(new ArrayList<>());
        }
    }

    public void addEdge(int src, int dest) {
        // 添加单向边的连接关系
        adjacencyList.get(src).add(dest);
    }
}

图的遍历

广度优先遍历（BFS）

广度优先遍历(Breadth First Search)，又称为广度优先搜索，简称BFS。是一种分层的查找过程，每向前走一步可能访问一批顶点，不像深度优先搜索那样有往回退的情况，因此它不是一个递归的算法。为了实现逐层的访问，算法必须借助一个辅助队列，以记忆正在访问的顶点的下一层顶点。
其实他本意就是，先遍历一个节点，然后遍历那个节点所连接的的周边节点，之后再一个结点一个结点的往外遍历，重复循环。

下面举个例子：

这张图，我们设从“3”开始遍历，运用广度优先的方法，那么我们所得到的遍历顺序为3，2，3，4，5，1

深度优先遍历（DFS）

所谓DFS，就是从起点开始，找准一个方向直到走不了为止，然后再原路返回，再找到一个能走的地方继续走的思路。

下面举个例子：

遍历顺序为：1，2，4，7，8，5，3，6

这里这两种算法，我只是概述一下，后面我还会写两篇博文来专门讲这两种遍历方式

上面差不多就是刷图论的题所需要具备的图的基础知识了，后续我会继续更新一些我在刷图论题的一些体会。