图论专栏一《图的基础知识》
图论（Graph Theory）是数学的一个分支。它以图为研究对象。图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些实体之间的某种特定关系，用点代表实体，用连接两点的线表示两个实体间具有的某种关系。
相比矩阵、张量、序列等结构，图结构可以有效建模和解决社会关系、交通网络、文法结构和论文引用等需要考虑实体间关系的各种实际问题。因此，为了能够有效利用图结构这种工具，我们必须要对图的定义、类型和性质有一定的认识。
概念
图是由顶点（vertex）和边（edge）组成的数据结构
如下图：
节点（node）用红色标出，通过黑色的边（edge）连接。
图可用于表示：
- 社交网络
- 网页
- 生物网络
- …
我们可以在图上执行怎样的分析？
- 研究拓扑结构和连接性
- 群体检测
- 识别中心节点
- 预测缺失的节点
- 预测缺失的边
- …
为了方便大家的学习，下面我先来介绍一下图的基本术语。
基本术语
图的分类
有向图（Directed Graph）：
- 在有向图中，每条边都有一个方向，从一个顶点指向另一个顶点。
- 如果顶点 A 到顶点 B 有一条有向边，则我们称顶点 A 直接指向顶点 B。这意味着从顶点 A 出发可以到达顶点 B，但反之则不一定成立。
- 有向图常用于表示具有方向性关系的问题，例如交通流向、网页链接、任务依赖关系等。
无向图（Undirected Graph）：
- 在无向图中，边没有方向，即连接两个顶点的边可以被看作是双向的。
- 如果顶点 A 与顶点 B 之间有一条边，那么顶点 A 与顶点 B 之间是相互连通的，可以双向移动。
- 无向图常用于表示无方向性关系的问题，例如社交网络中的好友关系、道路交通图等。
无向完全图：无向图中，任意两个顶点之间都存在边。
有向完全图：有向图中，任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧。
简单图：图中不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现。
稀疏图：有很少条边。
稠密图：有很多条边。
子图（Subgraph）：假设G=（V,{E}）和G‘=（V',{E'}），如果V'包含于V且E'包含于E，则称G'为G的子图。
边
边：顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以是空的。
无向边(Edge)：若顶点V1到V2之间的边没有方向，则称这条边为无向边。
无向图(Undirected graphs)：图中任意两个顶点之间的边都是无向边。（A,D）=（D,A）
对于无向图G来说，G1=（V1,{E1}），其中顶点集合V1={A,B,C,D}；边集和E1={（A,B），（B,C），（C,D），（D,A），（A,C）}
有向边：若从顶点V1到V2的边有方向，则称这条边为有向边，也称弧(Arc)。用
度
度是指与该顶点相邻的边的数量。
例如上图图中
-
A、B、C、E、F 这几个顶点度数为 2
-
D 顶点度数为 4
有向图中，细分为入度和出度，参见下图
分析上图可知个顶点的出度与入度如下：
A (2 out / 0 in) 两个出度，没有入度
B、C、E (1 out / 1 in)
D (2 out / 2 in)
F (0 out / 2 in)
权
边可以有权重，代表从源顶点到目标顶点的距离、费用、时间或其他度量。
路径
路径被定义为从一个顶点到另一个顶点的一系列连续边，例如上图中【北京】到【上海】有多条路径。
北京 - 上海
北京 - 武汉 - 上海
路径长度
不考虑权重，长度就是边的数量
考虑权重，一般就是权重累加
环
在有向图中，从一个顶点开始，可以通过若干条有向边返回到该顶点，那么就形成了一个环。
如下图：
图的连通性
如果两个顶点之间存在路径，则这两个顶点是连通的，所有顶点都连通，则该图被称之为连通图，若子图连通，则称为连通分量。
graph LR
A --- B
A --- C
C --- D
D --- E
B --- E
F --- G
G --- H
H --- F
I --- J根据上面给出的点与点之间的连通性，可得出下图：
强连通分量：有向图中的极大强连通子图。
生成树：无向图中连通且n个顶点n-1条边叫生成树。
有向树：有向图中一顶点入度为0其余顶点入度为1。
森林：一个有向图由若干棵有向树构成生成森林。
图的表示方法
图可以用邻接矩阵和邻接表表示
比如说，下面的图
用邻接矩阵可以表示为：
A B C D A 0 1 1 0 B 1 0 0 1 C 1 0 0 1 D 0 1 1 0
用邻接表可以表示为：
A -> B -> C B -> A -> D C -> A -> D D -> B -> C
有向图的例子:
graph LR
A--->B
A--->C
B--->D
C--->D
用邻接矩阵可以表示为：
A B C D
A 0 1 1 0
B 0 0 0 1
C 0 0 0 1
D 0 0 0 0
用邻接表可以表示为：
A - B - C
B - D
C - D
D - empty
图的存储结构
邻接矩阵
邻接矩阵：用两个数组，一个数组保存顶点集，一个数组保存边集。
无向图
无向图的邻接矩阵如图
代码示例
我们先将表示顶点和边的类定义出来
假设顶点的类型为 Vertex：
class Vertex {
int value;
// 其他顶点属性
}假设边的类型为 Edge：
class Edge {
int startVertexId;
int endVertexId;
// 其他边属性
}class Graph {
Vertex[] vertices;
Edge[] edges;
int[][] adjacencyMatrix;
public Graph(Vertex[] vertices, Edge[] edges) {
this.vertices = vertices;
this.edges = edges;
this.adjacencyMatrix = new int[vertices.length][vertices.length];
// 初始化邻接矩阵，将相应位置设为 1 表示边的连接关系
for (Edge edge : edges) {
adjacencyMatrix[edge.startVertexId][edge.endVertexId] = 1;
// 如果是无向图还需要设置对称位置
adjacencyMatrix[edge.endVertexId][edge.startVertexId] = 1;
}
}
}有向图
有向图的邻接矩阵如图
代码示例
class Digraph {
Vertex[] vertices;
Edge[] edges;
int[][] adjacencyMatrix;
public Digraph(Vertex[] vertices, Edge[] edges) {
this.vertices = vertices;
this.edges = edges;
this.adjacencyMatrix = new int[vertices.length][vertices.length];
// 初始化邻接矩阵，将相应位置设为 1 表示边的连接关系
for (Edge edge : edges) {
adjacencyMatrix[edge.startVertexId][edge.endVertexId] = 1;
}
}
}邻接表
邻接表：数组与链表相结合的存储方法。
邻接表表示法(链式)表示如下图：
- 顶点： 按编号顺序将顶点数据存储在一维数组中。
- 关联同一顶点的边： 用线性链表存储。
- 如果有边\弧的信息，还可以在表结点中增加一项，
无向图
无向图的邻接表如下图：
特点：
- 邻接表不唯一
- 若无向图中有n个顶点、e条边，则其邻接表需要n个头结点和2e个表结点。适宜存储稀疏图。
- 无向图中顶点vi的度为第i个单链表中的结点数
代码示例
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
class Graph {
int numVertices;
List> adjacencyList;
public Graph(int numVertices) {
this.numVertices = numVertices;
this.adjacencyList = new ArrayList<>(numVertices);
// 初始化邻接表
for (int i = 0; i < numVertices; i++) {
adjacencyList.add(new ArrayList<>());
}
}
public void addEdge(int src, int dest) {
// 添加双向边的连接关系
adjacencyList.get(src).add(dest);
adjacencyList.get(dest).add(src);
}
}
有向图
特点：
- 顶点vi的出度为第i个单链表中的结点个数。
- 顶点vi的入度为整个单链表中邻接点域值是i-1的结点个数。
- 找出度易，找入度难
逆邻接表：
逆邻接表特点：
- 顶点vi的入度为第i个单链表中的结点个数。
- 顶点vi的出度为整个单链表中邻接点域值是i-1的结点个数。
- 找入度易，找出度难。
当邻接表的存储结构形成后，图便唯一确定。
代码示例：
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
class Digraph {
int numVertices;
List> adjacencyList;
public Digraph(int numVertices) {
this.numVertices = numVertices;
this.adjacencyList = new ArrayList<>(numVertices);
// 初始化邻接表
for (int i = 0; i < numVertices; i++) {
adjacencyList.add(new ArrayList<>());
}
}
public void addEdge(int src, int dest) {
// 添加单向边的连接关系
adjacencyList.get(src).add(dest);
}
} 图的遍历
广度优先遍历（BFS）
广度优先遍历(Breadth First Search)，又称为广度优先搜索，简称BFS。是一种分层的查找过程，每向前走一步可能访问一批顶点，不像深度优先搜索那样有往回退的情况，因此它不是一个递归的算法。为了实现逐层的访问，算法必须借助一个辅助队列，以记忆正在访问的顶点的下一层顶点。
其实他本意就是，先遍历一个节点，然后遍历那个节点所连接的的周边节点，之后再一个结点一个结点的往外遍历，重复循环。
下面举个例子：
这张图，我们设从“3”开始遍历，运用广度优先的方法，那么我们所得到的遍历顺序为3，2，3，4，5，1
深度优先遍历（DFS）
所谓DFS，就是从起点开始，找准一个方向直到走不了为止，然后再原路返回，再找到一个能走的地方继续走的思路。
下面举个例子：
遍历顺序为：1，2，4，7，8，5，3，6
这里这两种算法，我只是概述一下，后面我还会写两篇博文来专门讲这两种遍历方式
上面差不多就是刷图论的题所需要具备的图的基础知识了，后续我会继续更新一些我在刷图论题的一些体会。