详解深度优先搜索（DFS，Depth-First Search）

深度优先搜索（DFS，Depth-First Search）是一种用于遍历或搜索树或图的算法。与它对应的算法是宽度优先搜索（BFS，Breadth-First Search）。DFS使用递归或堆栈的方式实现搜索过程，并遵循深度优先原则探索可能的路径。

基本思想

深度优先搜索在进行搜索时，尽可能深地搜索图的分支。当节点v的所有出去的边都已被探测过，搜索将回溯到发现节点v的那条边的起始节点。这个过程一直进行到已发现从源节点可达的所有节点为止。

如果存在未发现的节点，那么深度优先搜索将从一个未发现的节点开始新的搜索。该算法会终止当所有节点都被发现。

DFS可以在搜索过程中解决许多问题，当需要检查所有可能的解决方案时，DFS是一个理想的选择，常见于解决递归问题和回溯算法。

伪代码

DFS(node) {  
    标记 node 为已探索
    对于 node 的每个未探索的邻居 neighbor，调用 DFS(neighbor)
}

开始于：

对于每个未探索的节点 node，调用 DFS(node)

DFS 经典问题及其C++代码

接下来，我们将介绍一些经典的使用深度优先搜索（DFS）解决的问题。

问题1：二叉树的最大深度

问题描述

给你一个二叉树的根节点root，找出其中最深的叶子节点，返回它们深度。

解题思路

使用DFS来访问每个节点，并沿途记录当前的深度，比较不同分支的深度，返回最大值。

// 二叉树节点的定义
struct TreeNode {
    int val;
    TreeNode *left;
    TreeNode *right;
};

int maxDepth(TreeNode* root) {
    if (!root) {
        return 0; // 空节点深度为0
    }
    int leftDepth = maxDepth(root->left); // 左子树的深度
    int rightDepth = maxDepth(root->right); // 右子树的深度
    return 1 + max(leftDepth, rightDepth); // 当前节点的深度 = 左/右子树深度的较大者 + 1
}

问题2：生成有效的括号组合

问题描述

给定一个数字n，生成所有可能的且有效的括号组合。

解题思路

在递归每一步中，我们维护两个变量，left 和 right 分别为已放置的左括号和右括号的数量。只有在知道序列仍然有效时（即不会形成如"())"这样的序列），我们才添加一个左括号或右括号。

void dfs(vector<string>& result, string& current, int left, int right, int n) {
    if (current.size() == 2 * n) {
        result.push_back(current);
        return;
    }
    
    if (left < n) {
        current.push_back('(');
        dfs(result, current, left + 1, right, n);
        current.pop_back();
    }
    
    if (right < left) {
        current.push_back(')');
        dfs(result, current, left, right + 1, n);
        current.pop_back();
    }
}

vector<string> generateParenthesis(int n) {
    vector<string> result;
    string current;
    dfs(result, current, 0, 0, n);
    return result;
}

问题3：岛屿数量

问题描述

给你一个由 ‘1’（陆地）和 ‘0’（水）组成的的二维网格，请你计算网格中岛屿的数量。岛屿总是被水包围，且每座岛屿只能由水平方向或垂直方向上相邻的陆地连接形成。

解题思路

遍历整个网格，当我们遇到 ‘1’，我们会启动DFS并沉没（通过将 ‘1’ 变为 ‘0’）与之相连的所有陆地，岛屿数量加1。遍历完整个网格后，返回岛屿数量。

void sinkIsland(vector<vector<char>>& grid, int x, int y) {
    // 超出边界或者已经是水域
    if (x < 0 || x >= grid.size() || y < 0 || y >= grid[0].size() || grid[x][y] == '0') {
        return;
    }

    // 将当前的 '1' 变为 '0'
    grid[x][y] = '0';

    // 沉没与当前位置相连的陆地
    sinkIsland(grid, x + 1, y);
    sinkIsland(grid, x - 1, y);
    sinkIsland(grid, x, y + 1);
    sinkIsland(grid, x, y - 1);
}

int numIslands(vector<vector<char>>& grid) {
    if (grid.empty()) return 0;
    
    int num_islands = 0;
    for (int i = 0; i < grid.size(); ++i) {
        for (int j = 0; j < grid[0].size(); ++j) {
            if (grid[i][j] == '1') {
                ++num_islands;
                sinkIsland(grid, i, j); // 沉没发现的岛屿
            }
        }
    }

    return num_islands;
}

问题4：全排列

问题描述

给定一个没有重复数字的序列，返回其所有可能的全排列。

解题思路

在每一步中，我们考虑那些还没有被选择的数字，将一个数字添加到当前排列中，然后递归调用，直到所有数字都被选中。然后回溯，撤销选择，继续尝试其他数字。

void permuteRec(vector<int>& nums, vector<vector<int>>& result, int start) {
    if (start >= nums.size()) {
        result.push_back(nums); // 添加当前排列到结果列表中
        return;
    }

    for (int i = start; i < nums.size(); ++i) {
        swap(nums[start], nums[i]);               // 交换数字
        permuteRec(nums, result, start + 1);      // 递归调用
        swap(nums[start], nums[i]);               // 回溯，撤销交换
    }
}

vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
    vector<vector<int>> result;
    permuteRec(nums, result, 0);
    return result;
}

问题5：组合总和

问题描述

给定一个无重复元素的数组和一个目标数target，找出数组中所有可以使数字和为target的组合。数组中的数字可以无限制重复被选取。

解题思路

可以通过DFS来在每个节点考虑选择当前数字或者不选择当前数字，然后进一步递归这两个选择。

void combinationSumRec(vector<int>& candidates, int target, vector<int>& current,
                       vector<vector<int>>& result, int start) {
    if (target == 0) {
        result.push_back(current); // 找到一个有效解
        return;
    }

    for (int i = start; i < candidates.size() && target - candidates[i] >= 0; ++i) {
        current.push_back(candidates[i]);                                    // 选择当前数字
        combinationSumRec(candidates, target - candidates[i], current, result, i); // 递归调用
        current.pop_back();                                                  // 回溯，撤销选择
    }
}

vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> current;
    combinationSumRec(candidates, target, current, result, 0);
    return result;
}

以上问题及解法展示了DFS算法在不同场景下的强大应用，通过递归和回溯，DFS能够高效地找到问题的有效解。在实际编程中，要注意递归的终止条件和避免无限递归的情况，也要处理好状态回溯，确保解的空间被正确探索。

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