算法-动态规划

动态规划算法

应用场景-背包问题

介绍

1. 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
2. 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先解决子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
3. 与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。（即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解）
4. 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解。

背包问题思路分析和图解

• 思路分析
  • 背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)
  • 这里的问题属于01背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01背包。
• 算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：

代码实现

public class DP {
    public static void main(String[] args) {
        int[] w = {1,4,3}; //物品的重量
        int[] val = {1500,3000,2000}; //每个物品对应的价值
        int m = 4; //背包的容量
        int n = val.length; //物品的个数

       //创建二维数组
       //v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
        int[][] v = new int[n+1][m+1];
        //为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组
        int[][] path = new int[n+1][m+1];

        //初始化第一行和第一列，但是我们这里默认是0就不用处理

        //根据前面公式来动态规划处理
        for (int i = 1; i < v.length; i++) { //第一行从1开始
            for (int j = 1; j < v[0].length; j++) { //不处理第一列，从1开始
                //公式
                if(w[i-1] > j){ //因为我们程序从1开始，所以原来的公式需要i-1
                    v[i][j] = v[i-1][j]; //当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，直接使用上一个单元格的数据
                }else{
                    if(v[i-1][j] < val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]){
                        v[i][j] = val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]];
                        //把当前的情况记录到path
                        path[i][j] = 1;
                    }else {
                        v[i][j] = v[i-1][j];
                    }
                }
            }
        }
        //输出一下v看看目前的情况
        for (int i = 0; i < v.length; i++) {
            for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {
                System.out.print(v[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
        System.out.println("==============");
        //输出最后我们是放入的哪些商品
        //遍历path，这样输出会把所有的放入情况都得到，其实我们只需要最后的放入
        int i = path.length-1;
        int j = path[0].length-1;
        while (i > 0 && j > 0){
            if(path[i][j] == 1){
                System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n",i);
                j -= w[i-1];
            }
            i--;
        }
    }
}