深度学习优化器Optimizer-SGD、mSGD、AdaGrad、RMSProp、Adam、AdamW

Optimizer 优化

$学习率learningrate:\alpha$
$防止除0的截断参数:ϵ$
$t时刻的参数:W_t$
$t时刻的梯度：g_t$
$t时刻的神经网络:f(x;W_t)$
$t时刻的梯度g_t的一阶动量:m_t$
$t时刻的梯度g_t的二阶动量:v_t$
$一阶动量历史权重:{\beta }_1$
$二阶动量历史权重:{\beta }_2$
$权重衰减项权重：\lambda$

1 SGD

SGD(Stochastic Gradient Descent)随机梯度下降算法，在深度学习中是一个最基础的优化算法，相比于传统凸优化所使用的梯度下降算法GD，SGD是在一个mini-batch中进行的。
公式如下：
$$g_t=\nabla f(x;W_{t-1})$$ $$W_t=W_{t-1}-\alpha g_t$$
即计算一个mini-batch中的损失函数的梯度，之后根据学习率进行更新，SGD可能存在的问题是，更新幅度与梯度线性相关，一方面网络不同层之间参数数值分布可能很不一致，这导致学习率的选择困难，不同层之间的更新速度不一致；另一方面，不利于摆脱局部极小值，SGD对于局部极小值的摆脱能力来源于Stochastic，即mini-batch中的样本随机，而非GD的全局选择，给予了一定的摆脱能力。

2 mSGD

mSGD(Moving Average SGD)是SGD的改进算法，在SGD的基础上引入了动量，从而平滑了参数的更新，并且给予了一定摆脱局部极小值的能力。
公式如下：
$$g_t=\nabla f(x;W_{t-1})$$ $$m_t={\beta }_1{m}_{t-1}+(1-{\beta }_1)g_t$$ $$W_t=W_{t-1}-\alpha m_t$$
即使参数到达了一个局部最小值点，由于动量$m_t$的存在，类似于惯性，优化参数会冲过一部分的局部极小值或者鞍点。

3 AdaGrad

AdaGrad(Adaptive Gradient)算法是一种自适应学习率的算法，其根据历史梯度平方和的大小，动态调整学习率，使得学习率逐渐下降。
公式如下：
$$g_t=\nabla f(x;W_{t-1})$$ $$W_t=W_{t-1}-\alpha \frac{g_t}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^t{g}_i^2}+ϵ}$$
AdaGrad根据过往的梯度平方和动态调整学习率，其优点是学习率自适应，缺点是学习率单调下降，且受极易历史极端梯度大小影响，可能导致后续学习率过小，无法跳出局部极小值。

4 RMSProp

RMSProp(Root Mean Square Propagation)算法是对AdaGrad的改进，引入momentum，使得学习率下降更加平滑，不易受到极端梯度的影响。
公式如下：
$$g_t=\nabla f(x;W_{t-1})$$ $$v_t={\beta }_2{v}_{t-1}+(1-{\beta }_2)g_t^2$$ $$W_t=W_{t-1}-\alpha \frac{g_t}{\sqrt{v_t}+ϵ}$$
RMSRrop改进了AdaGrad，也为Adamting算法提供了基础。

5 Adam

Adam(Adaptive Momentum)算法身上明显沿用了RMSProp和mSGD的优点，同时结合了动量与自适应学习率，其同时使用了一阶动量和二阶动量，使得Adam算法在收敛速度上优于RMSProp，且具有较好的自适应性。
且针对，一阶动量和二阶动量的初始化问题，若初始化为0，则需要很长时间才能累计达到一个基本的学习率，因此Adam算法采用了一个随时间变化的补偿项，使得一阶动量在刚开始时具有更大的值，且在后期逐渐衰减。
公式如下：
$$g_t=\nabla f(x;W_{t-1})$$$$m_t={\beta }_1{m}_{t-1}+(1-{\beta }_1)g_t$$$$v_t={\beta }_2{v}_{t-1}+(1-{\beta }_2)g_t^2$$$$\widehat{m_t}=\frac{m_t}{1-{\beta }_1^t}$$$$\widehat{v_t}=\frac{v_t}{1-{\beta }_2^t}$$$$W_t=W_{t-1}-\alpha \frac{\widehat{m_t}}{\sqrt{\widehat{v_t}}+ϵ}$$
可以看到Adam同时采用了一阶动量和二阶动量，并且采用了$\frac{1}{1+{\beta }^t}$的形式对于动量进行补偿，从而有着极强的自适应能力，是如今最常用的优化算法之一。

6 AdamW

AdamW算法是对Adam算法的纠错，其引入了权重衰减(weight decay)，在过往的Adam算法中，面对有着正则项的损失函数时，往往对于正则项的处理为第一步$g_t$中：
$$Adam处理(错误)：g_t=\nabla f(x;W_{t-1})+2\lambda W_{t-1}$$
而AdamW算法中，修正了这一错误，将正则项在最后一步权重更新时进行处理，即weight decay不参与动量计算，公式为：
$$W_t=W_{t-1}-\alpha (\frac{\widehat{m_t}}{\sqrt{\widehat{v_t}}+ϵ}+2\lambda W_{t-1})$$

7 总结

以上就是最常用的优化器SGD、mSGD、AdaGrad、RMSProp、Adam、AdamW的总结，其中AdamW算法是Adam算法的改进，SGD在CNN中还有不错的发挥，但在Transformer中却效果一般，如今Adam和AdamW算法在Transformer模型中有着更为广泛的应用，如Llama、OPT、GPT等，即使还有一些新的如Lion等优化器，但大体上了解以上优化器就足够了。