力扣——1641. 统计字典序元音字符串的数目

题目描述

给你一个整数 n，请返回长度为 n 、仅由元音 (a, e, i, o, u) 组成且按字典序排列的字符串数量。

字符串 s 按 字典序排列 需要满足：对于所有有效的 i，s[i] 在字母表中的位置总是与 s[i+1] 相同或在 s[i+1] 之前。

来源：力扣（LeetCode）
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抽象成数学问题是：给定元素种类数（5），待排列位数（n），排列规则（字典顺序）。求排列组合种类数。

先给出几组解以便于验算：
n=1------5
2------15
3------35
4------70
5------126

隔板法原理

开始学隔板法是用来处理n个无差别的球放进k个不同的盒子的问题。
应用隔板法的条件为：

1. n个球是相同的
2. k个盒子是互异的
3. 每个盒子至少分得一个元素
   因为有n个球所以便有n-1个可以放板子的地方，共有k个板子要放，最总结果种数为：$C_{n-1}^k$。

发现题目不满足条件3，所以我们可以为每个盒子预先放入一个球即填元素隔板法。
可以理解为先有n+k个球，按隔板法放进k个盒子中，那么就会存在某个或某几个盒子里面只存放1个球的情况，之后我们从每一个盒子中拿出一个球，共拿出K个。那么此时剩余球的情况就等价于只放k个球且允许盒子为空的情况。

题目作答

对于本题，只需将n位当做n个完全相同的小球，将5个字母当成5个盒子即可。最终转化为在n+5 - 1个空位中插入4个隔板，将小球分为5堆。
所以该题目的解为 $C_{n+4}^4$。

那不使用填元素隔板法可以吗？当然可以，不过那样就需要进行分类讨论，即：

1. 4个盒子为空： $C_5^4\times 1$。先选出4个空盒子再把剩余球放进不为空的那个盒子。(n>=1)
2. 3个盒子为空： $C_5^3\times C_{n-1}^1$。同样先选出3个空盒子，之后将剩余球分为两堆，即插入一个隔板。(n>=2)
3. 2个盒子为空：$C_5^2\times C_{n-1}^2$。(n>=3)
4. 1个盒子为空：$C_5^1\times C_{n-1}^3$。(n>=4)
5. 0个盒子为空：$C_{n-1}^4$。(n>=5)

之后将所有种类加起来，就得到最终结果，化简为$\frac{1}{24}\times (n^4+10n^3+35n^2+50n+24)$。与$C_{n+4}^4$得到结果相同。
不过为了严谨，这种做法需要分别把n=1,2,3,4,5代入到公式中，验证是否满足公式。

写成程序如下：

class Solution {
public:
    int countVowelStrings(int n) {
        return (n + 4) * (n + 3) * (n + 2) * (n + 1) / 24;
    }
};