有关三角函数的定积分的计算

在介绍三角函数定积分计算之前$,$ 首先介绍一些有关函数对称性的基础知识

$结论一:对于复合函数f[u(x)],如果内层函数u(x)关于区间[a,b]对称,则f[u(x)]关于[a,b]对称$

证明:

因为$u(x)$关于$[a,b]$对称$,$ 所以$u(x)=u(2\ast \frac{a+b}{2}-x)=u(a+b-x)$

令$F(x)=f[u(x)],$ 则$F(a+b-x)=f[u(a+b-x)]=f[u(x)]=F(x)$

故$F(x)$关于区间$[a,b]$对称

$结论二:如果u(x)关于区间[a,b]中心对称,则f[u(x)]的对称性和外层函数f(x)的奇偶性保持一致$

值得注意的是: 这里要求的是内层函数关于积分区间中心对称$,$ 而外层函数不是关于积分区间的对称性而是奇偶性

证明

$u(a+b-x)=-u(x)$

$F(a+b-x)=f[u(a+b-x)]=f[-u(x)]$

当$f(x)$为偶函数时$,$ $F(a+b-x)=f[-u(x)]=f[u(x)]=F(x),$ 即$F(x)$关于$[a,b]$对称
当$f(x)$为奇函数时$,$ $F(a+b-x)=f[-u(x)]=-f[u(x)]=-F(x),$ 即$F(x)$关于$[a,b]$中心对称

$结论三:f(x)关于区间[a,b]对称,则{\int }_a^{b}f(x)dx=2{\int }_a^{\frac{a+b}{2}}f(x)dx$

$结论四:f(x)关于区间[a,b]中心对称,则{\int }_a^{b}f(x)dx=0$

$结论五:在三角函数的积分计算和证明中,常令x=\frac{\pi }{2}\pm u或x=\pi \pm u$

$结论六:有根号且根号内有平方的,一般使用三角换元$

下面开始正式介绍有关定积分计算的方法

1. 区间再现公式

${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(a+b-x)dx=\frac{1}{2}{\int }_a^b[f(a+b-x)+f(x)]dx={\int }_a^{\frac{a+b}{2}}[f(a+b-x)+f(x)]dx$

证明:

换元换变元$,$ 令$u=a+b-x$

${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_b^{a}f(a+b-u)d(-u)={\int }_a^{b}f(a+b-u)du\stackrel{定积分与变元符号无关}{}{\int }_a^{b}f(a+b-x)dx$

令$F(x)=f(a+b-x)+f(x),$ 可以得到$F(x)$关于$[a,b]$对称$,$ 故$\frac{1}{2}{\int }_a^{b}F(x)dx={\int }_a^{\frac{a+b}{2}}F(x)dx$

根据区间再现的思想$,$ 其实也可以得到一些其他的区间再现公式.
例如令$u=\frac{ab}{x},$ 则有${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_b^{a}f(\frac{ab}{u})d(\frac{ab}{u}),$ 之前在一本复习书中看到过$,$ 但实际做题没怎么遇到过这种情况

计算$:{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{x}{cos(\frac{\pi }{4}-x)\ast cosx}dx$

已知$f(x)$连续$,$ 证明重要推论 $:$

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(sinx)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(cosx)dx$

${\int }_0^{\pi }xf(sinx)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(sinx)dx\stackrel{区间拆分+结论五}{}\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(sinx)dx$

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(sinx,cosx)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(cosx,sinx)dx$这个公式说明在区间$[0,\frac{\pi }{2}]$上$cosx$和$sinx$对换不改变定积分的值

2. 点火公式

点火公式大家都非常熟练了$,$ 这里直接介绍它的几个衍生版本$,$ 当做熟悉对称性的使用

${\int }_0^{\pi }si{n}^{n}xdx:$复合函数由内层$sinx$和外层$x^n.$ 且内层函数$sinx$在积分区间$[0,\pi ]$上对称$,$ 故可由结论一和结论三化简

${\int }_0^{\pi }co{s}^{n}xdx:$复合函数由内层$cosx$和外层$x^n.$ 且内层函数$cosx$在积分区间$[0,\pi ]$上中心对称$,$ 故需要判断$x^n$的奇偶性

3.区间简化公式

1. 将任意区间$[a,b]$化简为$[0,1]$

   其实原理就是找到一个单调函数$x=f(t),$ 使得$f(0)=a,f(1)=b$
   

   类比通过两点$(a,0),(b,1)$建立直线方程$,$ 得到公式$\frac{x-a}{b-a}=\frac{t-0}{1-0},$即$x=a+(b-a)\ast t$
   
   

   $计算:{\int }_a^b\sqrt{(x-a)(b-x)}dx=\frac{(b-a{)}^2}{8}\pi$
   
   

2. 将任意区间$[a,b]$化简为$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$

   类似上面的方法得到$\frac{x-a}{b-a}=\frac{t+\frac{\pi }{2}}{\pi },$ 化简后得到$x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\frac{2}{\pi }t$
   
   我们知道有根号且根号内有平方的$,$一般使用三角换元$,$例如$\int \sqrt{a^2\pm x^2}dx$和$\int \frac{1}{\sqrt{a^2\pm x^2}}dx,$ 因此使用$sint$替换$t,$但二者在$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$上表示的范围并不相等$,$ 因此需要乘上系数$k$保证二者范围相同. 而在$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$上sint的范围恰好是$\frac{2}{\pi }t$的范围$,$ 因此公式变为$x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}sint$
   
   

   其实公式1的简化最后还是用到了三角换元$,$ 只是因为基本积分公式里面有$\int \sqrt{a^2-x^2}dx,$ 所以使用$t$即可

   $计算:{\int }_a^b\frac{1}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}dx=\pi$

4.其他有关对称性的积分

$F(x)=(x-a)(x+a)为偶函数;$
$根据偶函数\ast 偶函数=偶函数,偶函数\ast 奇函数=奇函数,可以推广如下形式:$

$F(x)={\prod }_{i=1}^N(x-i)(x+i)为偶函数,G(x)={\prod }_{i=1}^N(x-i)(x+i)x为奇函数,给出几个相关的函数图像$




奇函数

偶函数

将其整体向左平移$,$ 函数可能会变成$F(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4),$ 此时为关于$x=-2$中心对称的函数