Floyd求最短路（Floyd算法）
参考：约会怎么走到目的地最近呢？一文讲清所有最短路算法问题-CSDN博客
有4个城市8条路，公路上的数字表示这条公路的长短，并且路是单向的，现在要求我们求出任意两个城市之间的最短路程，也就是求任意两个点之间的最短路经，这就是多源最短路问题。
1.假设我们只允许经过1号城市，求任意两城市之间的最短路程，应该如何求呢？
只需判断e[ i ][1]+e[1][ j ]是否比e[ i ][ j ]要小即可。
for(int i=1;i<=n;++i) //遍历起点城市
for(int j=1;j<=n;++j) //遍历被缩小距离的城市
if(e[i][j] > e[i][1]+e[1][j]) //如果我通过1城市进行中转后的距离比你现在直接到要近
e[i][j]=e[i][1]+e[1][j];//则直接赋值给给e[i][j]即可
2.假设我们允许经过1号城市和2号城市，求任意两点之间的最短路程，应该如何求呢？
我们需要在只允许经过 1号顶点时任意两点的最短路程的结果下，再判断如果经过2号顶点是否可以使得 i 号顶点到 j 号顶点之间的路程变得更短，即判断e[ i ][2]+e[2][ j ] 是否要比 e[ i ][ j ] 要小。
//经过一号顶点
for(int i=1;i<=n;++i)//遍历起点城市
for(int j=1;j<=n;++j)//遍历被缩小距离的城市
if(e[i][j] > e[i][1]+e[1][j])//如果我通过1城市进行中转后的距离比你现在直接到要近
e[i][j]=e[i][1]+e[1][j];//则直接赋值给给e[i][j]即可
//经过二号顶点
for(int i=1;i<=n;++i)//遍历起点城市
for(int j=1;j<=n;++j)//遍历被缩小距离的城市
if(e[i][j] > e[i][2]+e[2][j])//如果我通过2城市进行中转后的距离比你现在直接到要近
e[i][j]=e[i][2]+e[2][j];//则直接赋值给给e[i][j]即可
以此类推，如果我们允许经过从1号到n号所有城市求两点间最短路程，可以写出代码：
for(int k=1;k<=n;k++) //一共有n个城市
{
for(int i=1;i<=n;i++) //遍历起点城市
{
for(int j=1;j<=n;j++) //遍历需要缩短距离的城市
{
d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]); //经过k号城市进行中转的距离与原来直接从起点到终点的距离是否有缩小
}
}
}这也就是Floyd算法了，Floyd属于多源最短路径算法，能够求出任意2个顶点之间的最短路径，支持负权边。
题目描述
给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
再给定 k 个询问，每个询问包含两个整数 x 和 y，表示查询从点 x 到点 y 的最短距离，如果路径不存在，则输出 impossible。
数据保证图中不存在负权回路。
输入格式
第一行包含三个整数 n,m,k。
接下来 m 行，每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。
接下来 k 行，每行包含两个整数 x,y，表示询问点 x 到点 y 的最短距离。
输出格式
共 k 行，每行输出一个整数，表示询问的结果，若询问两点间不存在路径，则输出 impossible。
数据范围
1≤n≤200,
1≤k≤n^2
1≤m≤20000,
图中涉及边长绝对值均不超过 1000010000。
输入样例：
3 3 2
1 2 1
2 3 2
1 3 1
2 1
1 3
输出样例：
impossible
1思路：就像上面一样，遍历所有点，求从起点经过中间的点中转后到终点的最短距离
for(int k=1;k<=n;k++) //一共有n个城市
{
for(int i=1;i<=n;i++) //遍历起点城市
{
for(int j=1;j<=n;j++) //遍历需要缩短距离的城市
{
d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]); //经过k号城市进行中转的距离与原来直接从起点到终点的距离是否有缩小
}
}
}示例代码：
// 这道题是多源点问题，有多个x到y的路径要求
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=210,INF=1e9; //表示正无穷
int n,m,q;
int d[N][N]; //d[i][j]表示从i到j的最短路长度
void floyd()
{
for(int k=1;k<=n;k++)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
}
}
}
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(i==j) d[i][j]=0; //自环边的权值设成了0，是为了干掉自环（因为不存在负权回路，自环没有意义）
else d[i][j]=INF;
}
}
while(m--)
{
int a,b,c;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
d[a][b]=min(d[a][b],c); //输入每条边，只保留最短边
}
floyd();
while(q--)
{
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
int t=d[a][b];
if(t>INF/2) puts("impossible"); //不能走到终点，但由于负数边权的存在，终点的距离可能被其他长度是正无穷的距离更新
else printf("%d\n",t);
}
return 0;
}