C语言实现快速傅立叶（FFT）(一)

1. FFT理论相关知识

FFT（快速傅里叶变换）其本质就是DFT，只不过可以快速的计算出DFT结果，所以首先应该理解DFT，DFT(Discrete Fourier Transform) 离散傅里叶变换的缩写，FFT(Fast Fourier Transform)快速傅里叶变换的缩写，搞明白DFT之后，FFT就相对容易了。DFT(FFT)的作用是可以将信号从时域变换到频域，而且时域和频域都是离散的，通俗的说，可以求出一个信号由哪些正弦波叠加而成，求出的结果就是这些正弦波的幅度和相位.

1 .1 DFT

如图6-1所示，离散傅里叶变换可以将一个N点的输入信号变成两个N/2+1点的输出信号。输入信号含有已被分解的信号，而两个输出信号包含正弦波和余弦波的幅值信息。在时域x[ ]包含从0到N-l计N个样点。经过DFT变换之后，在频域产生两个信号：

其实部记作ReX[]，虚部记作ImX[ ]。DFT变换是从时域变换到频域，而DFT逆变换与此相反，是从频域变换到时域.

图6-1 实DFT变换

频域与时域描述的都是同一个信号，只是表述形式不同。如果已知其中的一个域，就能计算出另外一个域。通过给定的时域信号计算频域信号的过程就叫做分解、分析、正向DFT，或者简称为DFT。而通过给定的频域信号计算时域信号的过程就被称做合成或逆向DFT。无论分解还是合成都可以用方程式和计算机算法来描述。

时域的样点数常用变量N表示。虽然N可以是任意的正整数，但是通常选择2的k次方（k任意正整数），也就是128、256、512、1024等。这样选择的原因有以下两点：首先，数字数据存储使用二进制寻址方式，因此，2的k次方构成了一个信号的合理长度；其次，快速傅里叶变换（FFT）是计算DFT最有效的算法，它通常用N（N是2的k次方）进行运算。通常情况下，N值选在32和4096之间。在大多数的情况下，抽样序号是从0到N-1，而不是1到N。

DFT的标准算法——通过相关性计算 DFT。通过举例来说明此方法如何使用。假设我们现在要对一个64点的信号进行DFT计算，这意味着我们需要计算频域里实部的33个点和虚部的33个点。在这个例子中，我们只介绍如何计算单个样点的值，如ImX[3]，即为从0点到63点之间含有3个完整周期的正弦波的幅值。同理可求得其余的频域值。

图6-2描述了如何使用相关性来计算ImX[3]。图6-2a和图6-2b是两个时域信号。

            

图6-2 通过相关性计算 ImX[3]

DFT的公式：

   

                   （6-1）

                 

利用欧拉公式展开：

     

       （6-2）

在计算机中可以这样展开：

                                （6-3）

                               （6-4）

                                              

在python中实现的算法：

def DFT(Y,N):
    real = { }
    imag = { }
    ret = { }
    for k in range(N):
        real[k] = 0
        imag[k] = 0
        print(k)
        for n in  range(N):
            real[k] = real[k] + Y[n] * np.cos(2 * np.pi * k * n / N)
            imag[k] = imag[k] - Y[n] * np.sin(2 * np.pi * k * n / N)
        ret[k] = np.sqrt( real[k]**2+imag[k]**2)
    return ret

以上算法能够实现DFT功能了，从程序可以看出，该算法的时间复杂度是，在计算机中执行的速度太慢。所以接下来介绍比较快的算法FFT(快速傅里叶变换)。

1 .2 FFT

FFT变换首先把一个N点时域信号分解成N个时域信号，其中每个信号只包含一个点。第二步是计算出这N个时域信号相对应的N个频谱。最后，由这N个频谱合成一个频谱。如图6-3所示。FFT 分解。 一个 N 点信号被分解为 N个单点信号。每一步都使用交错分解，把偶数点和奇数点分开，如图6-4所示。

图1-3 FFT算法流程图

图1-4 FFT分解案例

      FFT的最后一步是将N个频谱按照时域分解时重新排列的顺序进行组合。这就是此算法相对麻烦的地方。在第一步，8个频谱（每个频谱包含1点）被合成为4频谱（每个频谱包含2点），在第二步，4个频谱（每个频谱包含2点）被合成为2频谱（每个频谱包含4点），最后一步使得FFT的输出是一个8点的频谱。如图6-5所示。图6-6 是FFT运算的最基本元素，将两个复数点转换成另外两个复数点。

图1-5 FFT  N=8点合成

                                                图1-6 FFT蝶形运算最基本元素

1 .3 窗函数

如果连续时间信号 Xa(t) 在时域无限长，则离散化后的序列 X(n) 也是无限长的，而 DFT 只适用于有限长序列的计算，因此需要对 X(n) 加窗截断，使之成为有限长序列 XN(n)，这个过程称为时域加窗（time-windowing）。设窗函数为Wn(N)，则

  

                                      （1-5）

有DFT的性质，时域上有两个序列相乘，在频域上是两个序列的离散时间傅里叶变换的卷积。

     

                                                                        图1-7 原始信号

                                                                   图1-8 窗函数

                                                                   图1-9 加窗后的信号

      使用不同的时间窗，它的时域形状和频域特征是不相同的。在这，介绍三种常见的窗函数的时域表达形式，以及它们的时域窗形状和频域特征。这三种窗分别是矩形窗、汉宁窗和平顶窗。它们的时域表达形式如下表所示，并且假设时间窗的范围为0≤t≤T，如果时间t的取值区间不同，窗函数的表达形式也会略有差异。

                                                                        图1-10 几种窗函数

       矩形窗、汉宁窗和平顶窗的时域形状和频域特征如下图所示，可以看出，窗函数不同，时域和频域都是不同的。

                                                            图1-11 几种窗函数的时域形状和频域特征

       为了减少泄漏，可采用不同的窗函数来进行信号截取，因而，泄漏与窗函数的频谱特征相关的。窗函数的典型频谱特征如下图所示：

                                                           图1-12 几窗函数的典型频谱特征

代码请参考 一下代码在很多实际工程中用过，C语言实现快速傅立叶（FFT）(二)-CSDN博客