矩阵秩的公式小结

矩阵秩的公式

说明

• 解释下了公式时,注意矩阵的行数列数
• 由三秩相等原理,向量组的秩往往转换为矩阵的秩来研究
  • 线性方程组$\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$或$\mathbf{AX}=\mathbf{B}$型方程有解定理$R(\mathbf{A})⩽R(\mathbf{A},\mathbf{B})$
  • 等价矩阵同秩
  • 转置矩阵同秩
  • 秩的定义

公式

1. $R(k\mathbf{A})=R(\mathbf{A})$,$(k\ne 0)$
2. $R(\mathbf{A})$=$R({\mathbf{A}}^{\mathbf{T}})$
3. $R(\mathbf{AB})⩽\min (R(\mathbf{A}),R(\mathbf{B}))$
4. $\max (R(\mathbf{A}),R(\mathbf{B}))⩽R(\mathbf{A},\mathbf{B})⩽R(\mathbf{A})+R(\mathbf{B})$
5. $\max (R(\mathbf{A}),R(\mathbf{B}))⩽R\left(\begin{array}{c}\mathbf{A}\\ \mathbf{B}\end{array}\right)⩽R(\mathbf{A})+R(\mathbf{B})$
6. $R(\mathbf{A}+\mathbf{B})⩽R\left(\begin{array}{c}\mathbf{A}+\mathbf{B}\\ \mathbf{B}\end{array}\right)=R\left(\begin{array}{c}\mathbf{A}\\ \mathbf{B}\end{array}\right)⩽R(\mathbf{A})+R(\mathbf{B})$
7. $R({\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\mathbf{A})⩽R(\mathbf{A})$
8. $R\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A}& 0\\ 0& \mathbf{B}\end{array}\right)$=$R(\mathbf{A})+R(\mathbf{B})$
9. 若$|\mathbf{A}|\ne 0$,则$R(\mathbf{AB})$=$R(\mathbf{BA})=R(\mathbf{B})$
10. 若${\mathbf{A}}_{m\times n}{\mathbf{B}}_{n\times l}=0$,则$R(\mathbf{A})+R(\mathbf{B})⩽n$