【数学建模\MATLAB】掌握用Matlab求解微分方程问题

1、求解一阶常微分方程

$$\frac{dy}{dt}=a{y}^2$$

clc,clear 
syms y(t) a %定义符号变量
dsolve(a*y^2-diff(y)==0)

结果

ans =
 
             0
 -1/(C1 + a*t)

2、求解三阶常微分方程

$$\frac{d^{3}y}{d{t}^3}=by$$

clc,clear 
syms y(t) b %定义符号变量
dsolve(diff(y,3)-b*y==0)

结果

ans =
 
C3*exp(b^(1/3)*t) + C1*exp(-t*((3^(1/2)*b^(1/3)*1i)/2 + b^(1/3)/2)) + C2*exp(t*((3^(1/2)*b^(1/3)*1i)/2 - b^(1/3)/2))

3.求解常微分方程

$$x^2+y+(x-2y)y\prime =0$$

clc,clear 
syms y(x) %定义符号变量
dsolve(x^2+y+(x-2*y)*diff(y)==0)

结果：

ans =
 
 x/2 + ((4*x^3)/3 + x^2 + C1)^(1/2)/2
 x/2 - ((4*x^3)/3 + x^2 + C1)^(1/2)/2

4. 求解二阶常微分方程

$$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=ay,\text{初}始条件为y(0)=5,y\prime (0)=1$$

clc,clear 
syms y(t) a %定义符号变量
dy = diff(y);
y = dsolve(diff(y,2)==a*y,y(0)==5,dy(0)==1);
y = simplify(y) %化简结果

结果

y =
 
(exp(a^(1/2)*t)*(5*a^(1/2) + 1))/(2*a^(1/2)) + (exp(-a^(1/2)*t)*(5*a^(1/2) - 1))/(2*a^(1/2))

5.求解常微分方程组

$$\{\begin{array}{rl}\frac{dy}{dt}& =z+5t\\ & \\ \frac{dz}{dt}& =-2y\end{array}$$

clc,clear 
syms y(t) z(t) %定义符号变量
dy = diff(y);
dz = diff(z);
[y1,z1] = dsolve(dy==z+5*t,dz==-2*y);
y1 = simplify(y1) %化简结果
z1 = simplify(z1) %化简结果

结果：

y1 =
 
(2^(1/2)*C2*cos(2^(1/2)*t))/2 + (2^(1/2)*C1*sin(2^(1/2)*t))/2 + 5/2
 
 
z1 =
 
C1*cos(2^(1/2)*t) - 5*t - C2*sin(2^(1/2)*t)

6.求解初值为下述常微分方程的解析解和精确解

clc,clear 
yx = @(x,y) -2*y+2*x^2+2*x; %定义微分方程右端的匿名函数
[x,y] = ode45(yx,[0,0.5],1)
[x1,y1] = ode23(yx,[0,0.5],1)
plot(x,y,x1,y1)

7.应用两个模型分别计算并预测未来五年的工资走势

根据以下提供的某省份年平均工资统计表（单位：元），通过马尔萨斯模型和阻滞增长模型构建微分方程，求解并绘制图像，应用两个模型分别计算并预测未来五年的工资走势.

x = [1978:1:2010]
y=[566,632,745,755,769,789,985,1110,1313,1428,1782,1920,2150,2292,2601,3149,4338,5145,5809,6271,6854,7656,8772,10007,11374,12567,14332,16614,19228,22844,26404,29638,32074]

7.1 马尔萨斯模型

模型假设：

• 设x(t)表示t时刻的工资，且x(t)连续可微
• 工资的增长率r是常数
• 工资的变化是封闭的，工资的变化只和工作的年限有关，工作年限越长，工资越高。

模型建立和求解：
假设t时刻到$t+\Delta t$时间内工资的增量为：
$$\{\begin{array}{rl}\frac{dx}{dt}& =rx,\\ & \\ x(0)& =x_0,\end{array}$$
其解为：
$$x(t)=x_0\ast e^{rt}$$

7.2 阻滞增长模型

对增长率r进行修正。如果在工资较少的时候，把r看成常数，工资增长到一定数量的时候，就应该把r看作应该随着工资增加而减少的量，即将增长率r表示成工资x(t)的函数r(x),r(x)是x的减函数。

模型假设：

• 设r(x)为x的线性函数，r(x)=r-sx(工程师原则，首选线性)
• 最大工资是:$x_m$，即当x=$x_m$时，增长率r($x_m$)=0.

模型求解：
由假设1、2, 可得$r(x)=r(1-\frac{x}{x_m}$), 则有
$$\{\begin{array}{rl}\frac{dx}{dt}& =r(1-\frac{x}{x_m})x,\\ & \\ x(t_0)& =x_0,\end{array}$$
其解为：
$$x(t)=\frac{x_m}{1+(\frac{x_m}{x_0}-1)e^{-r(t-t_0)}}$$

x=[566 632 745 755 769 789 985 1110 ...
    1313 1428 1782 1920 2150 2292 2601 3149 ...
    4338 5145 5809 6271 6854 7656 8772 10007 ...
    11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29638 ...
    32074]';
t=1978:2010;t=t';
t=t-1977;
near5year= [2011:1:2015]';
near5year=near5year-1977;
%阻滞增长增长模型
beta0 = [566 0.22 12567];
yzuzhi =@(beta,t) beta(3)./(1+(beta(3)./beta(1)-1).*exp(-beta(2)*t));
beta=nlinfit(t,x,yzuzhi,beta0)
xzuzhi=yzuzhi(beta,near5year);
%马尔萨斯增长模型
ymuthus=@(r,t) r(1)*exp(r(2)*t);
r0=[5.7,0.1];
a=nlinfit(t,x,ymuthus,r0)
xmuthus=ymuthus(a,near5year);
subplot(1,2,1);
plot([t;near5year],[x;xmuthus]);
title('马尔萨斯增长模型');
subplot(1,2,2);
plot([t;near5year],[x;xzuzhi]);
title('阻滞增长增长模型');
%预测未来五年
disp(['马尔萨斯增长模型预测未来五年工资是',num2str(xmuthus')]);
disp(['阻滞增长增长模型预测未来五年工资是',num2str(xzuzhi')]);

clear all;clc
x=[566 632 745 755 769 789 985 1110 ...
    1313 1428 1782 1920 2150 2292 2601 3149 ...
    4338 5145 5809 6271 6854 7656 8772 10007 ...
    11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29638 ...
    32074]';
n = 33;
t = (1:n)';
beta0 = [5.3 0.22 400]; %[x0, r, xm]
[beta, R, J] = nlinfit(t,x,'logisfun',beta0); %非线性拟合
py = beta(3)./(1+(beta(3)./beta(1)-1).*exp(-beta(2)*t)); %预测各年工资
p5 = beta(3)./(1+(beta(3)./beta(1)-1).*exp(-beta(2)*(n:n+5)')); %预测五年后工资
subplot(2,1,1)
plot(1:n, x, '*', 1:n, py,n:n+5,p5,'o'); %对比图
title('阻滞增长增长模型');

xx = x(1:n); 
t=[ones(n,1),(1:n)'];
y=log(xx(1:n));
[b,bint,r,rint,stats] = regress(y,t)
x0 = exp(b(1)) %参数x0
r = b(2)%参数r
py_ = x0*exp(r*(1:n+5)'); %预测数据
subplot(2,1,2)
plot(1:n, xx, 'k+', 1:n+5, py_); %对比图
title('马尔萨斯增长模型');

8.练习（传染病模型）

假设某一种传染病正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，用于对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产损失。现假设某地区人口分布约为5万人，且有约为5千人已经感染并积极治疗，每个病人每天接触约为5人，且每天治愈率约为150%。考虑如下问题，建立适当的数学模型：

1. 该传染病不具有免疫性，试估算病情稳定时对应的天数，并绘制出病人与健康者人数随时间变化的分布曲线；
2. 该传染病具有免疫性，试估算病情稳定时对应的天数，并绘制出病人，健康者与免疫者人数随时间变化的分布曲线.

8.1 传染病无免疫性

病人治愈成为健康人，健康人可以再次被感染（SIS模型）

假设：

• 总人数N不变，病人和健康人比例分别为：i(t),s(t)
• 每个病人每天有效接触人数为$\lambda$,且使接触的健康人致病
• 病人每天治愈的比例为$\mu$

建模：
$$N[i(+\Delta t)-i(t)]=\lambda s(t)Ni(t)\Delta t-\mu Ni(t)\Delta t$$
得到：
$$\{\begin{array}{rl}\frac{di}{dt}& =\lambda is-ui\\ & \\ i(0)& =i_0\end{array}$$

clear all;
clc;
xspan = [0 5];
y0 = 0.1;
[x,y] = ode45(@(x,y) 5*y*(1-y)-1.5*y, xspan, y0);
y1 = 1-y(:)
plot(x,y,'r',x,y1,'b')

由图可以看出，需要两天病情才能稳定。

8.2 传染病有免疫性

病人治愈后即移除感染系统，称为移出者（SIR模型）

假设：

• 总人数N不变, 病人、健康人、移出者的比例分别为$i(t),s(t),r(t)$
• 病人每天有效接触人数为$\lambda$，治愈的比例为$\mu$,接触数为$\sigma =\lambda /\mu$

建模：
$$s(t)+i(t)+r(t)=1$$
需要建立$s(t),i(t),r(t)的两个方程$：
$$\begin{gathered} N[i(t+\Delta t)-i(t)]=\lambda s(t)Ni(t)\Delta t-\mu Ni(t)\Delta t \\ N[s(t+\Delta t)-s(t)]=-\lambda s(t)Ni(t)\Delta t \end{gathered}$$

$$\{\begin{array}{rl}\frac{di}{dt}& =\lambda is-ui\\ \frac{ds}{dt}& =-\lambda si\\ i(0)& =i_0,s(0)=s_0\end{array}$$
无法求出s(t),i(t)的解析解，利用matlab求出数值解

function y = infect(t,x)
lamp = 5;
u = 1.5;
y = [lamp*x(1)*x(2)-u*x(1); -lamp*x(1)*x(2)];
end

x0 = [0.9, 0.1]';
[t,x] = ode45('infect', [0,4], x0); 
%调用变步长4阶5级Runge-Kutta-Felhberg法计算
y = 1-x(:,1)-x(:,2)
plot(t,x(:,1),'r', t,x(:,2),'b',t,y,'k');
grid on

由图可以看出，大概4天后，传染病趋于稳定。

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