6.1 2D 线性变换
缩放变换 是最基本的变换，可以改变向量的长度和方向。
错切 变换，在一个轴向上根据另一个轴上的值以一定比例移动，看图很容易明白。沿 轴和沿 轴上的错切矩阵分别如下：
沿 轴的错切也可以理解是沿 轴顺时针旋转 （与 轴的夹角）：
沿 轴的错切也可以理解是沿 轴逆时针旋转 （与 轴的夹角）：
旋转变换，证明过程 略，逆时针旋转 的矩阵为：
顺时针旋转 的矩阵为（其实就是把所有的 换成 ）：
可以看到旋转矩阵是 正交矩阵，并且有两对正交向量，一对是第一行和第二行向量；一对是第一列和第二列向量。每一行会被带给标准基向量（），标准基向量会被带给每一列。简单来说就是，对标准基向量进行一个 旋转变换，就会变成 的列向量，看下图的 点，变换后为 ，就是 的第二列（因为相当于是 ，所以是第二列）；对 的每一行做 的旋转变换，结果就是标准基向量，看下面的，变换后为。
反射变换 是一种使用负数的缩放变换，下面分别是关于 轴的反射变换矩阵，和关于 轴的反射变换矩阵：
有人会认为矩阵的左上角和右下角都为 时，也是一种反射变换（关于原点的反射），但实际上那只是 的旋转变换而已。
我们经常需要对一个图案进行多种变换，这些变换可以通过将他们的变换矩阵连乘进行 合并，比如需要先对 进行 变换得到 ，然后再对 进行 变换得到 ，那么有以下转换：
也就是说我们可以把所有需要用到的变换，从右往左 依次乘起来，在读变换的时候也要注意是 从右往左，比如 是先应用 变换，再应用 变换。
有时候我们也需要将一个组合的变换进行 分解，所有的 2D 矩阵都可以通过 奇异值分解（SVD） 成为旋转、缩放、旋转的形式。下图是把一个错切变换进行 SVD 的过程：
我们先从 对称矩阵 开始，对称矩阵可以通过特征值分解成 的形式。
- 是正交矩阵，我们称他的列为
- 是对角矩阵，从左上到右下依次为
（这一块不明白的可以看 这里）
我们可以把 当做是一次旋转，把 当成是一次缩放，那么其实就是一个组合变换，请结合下面的文字看图：
- 将 旋转到跟标准基坐标对齐 （）
- 在标准基坐标上进行缩放 （）
- 旋转回原来的角度 （）
任意对称矩阵 A，也被叫做非轴对齐的非均匀缩放变换
我们可以发现对于 对称矩阵 来说，变换的表现就是沿着一对基向量进行非均匀缩放，这一对基向量依然是正交的，跟标准基向量没什么不同，只是整体方向不一样。而这一对基向量正是 对称矩阵 的特征向量。
看一个例子：
对应的结果如下图，实际上是在以 特征向量为轴，并进行了大小为 特征值 的 缩放 的过程。可以看出对称矩阵有 三个自由度，一个旋转，两个缩放。
对于非对称矩阵，我们可以使用 奇异值分解（SVD），对此有疑问的可以看 这里。他与特征值分解基本一样，不同的是左右旋转矩阵不再是同一个，而是分为两个，特征值分解的结果是，而奇异值分解 写成 ，这里的 依然是一个正交矩阵，列是 左奇异向量，也是一个正交向量，列是 右奇异向量，S依然是对角矩阵，对角线上是奇异值。
可以看到，奇异值分解的几何意义跟特征值分解相似，但变换的角度不再是一样的。
前面提过对于非对称矩阵 奇异值是对称矩阵 的平方根，但是我们默认是取正的，这是因为取负的是没有必要的，因为我们可以 随时反转某个奇异值的符合和他对应的奇异向量的方向，结果是一样的，从图形中来看就是带着坐标轴一起反转了，所以是一样的。
对于 的矩阵，有四个自由度，两个缩放，两个旋转，还有一个反射，但这个包含在旋转里面了。因为旋转矩阵里面也包含了反射，当行列式结果为 时为反射，当结果为 时为旋转。当实际是反射，但期望得到旋转的时候，可以将其中一个奇异值取负来把它变成旋转矩阵，这样的话，反射就不是跟随这旋转，而是跟随着缩放了。结果依然是 旋转——缩放——旋转 的形式。
还有一种旋转的分解叫做 Paeth 分解，这是将旋转分解成 错切 的方式，最大的好处就是不会在图像中出现间隙，下面是分解公式：
举个例子，如果要旋转 45°，那么写作：
分解的过程如下：
6.3 3D 线性变换
顺着笛卡尔坐标系的 缩放 矩阵为：
绕着 z 轴，x轴，y轴 逆时针 旋转 的矩阵分别为：
注意围绕 y 轴的时候有点不一样，这个我的理解是左上角的 4 个逐渐向右下角移动，当超出边界的时候，右边超出的列往最左边补，下面超出的行往最上面补。因为 x-y-z-x-y-z-x-... 其实是循环的。
也可以在特定轴上进行 错切 变换，下面是在 x 轴上进行错切，沿着哪一个轴，就是在哪个轴上值不变。
在 3D 中，跟 2D 一样，可以将对称矩阵进行特征值分解，对非对称矩阵进行奇异值分解。
如何将一个点绕着 3D 中任意轴进行旋转呢？假设该点为 ，旋转轴为 （这里的 是起点为原点的向量，所以不涉及平移），那么如果能构建一组以 为 轴的基向量，并把 转换到该空间，进行旋转，再转回来就可以了。
第一步：构建以 为 的一组正交基
首先我们将 进行归一化得到 ：
再找一个跟 不同，并且也不是很接近的向量 ，比较简单的一个办法就是直接将 的最小值改成 1。然后使用叉乘找到第二个正交基 ：
最后再次使用叉乘得到第三个正交基：
我们只关心 ，剩下两个并不重要，只需要他们存在就够了。
第二步：构建空间转换矩阵
假设我们有一组基向量，，还有一个点 ，将 按行来摆好，写成 我们可以提前知道 在上述基向量中的坐标应该为 ，正是 的结果。下面是书上的证明过程，有兴趣的可以看一下，没兴趣就记着我们可以用任意的一组正交基，把 三个分量摆第一行，把 三个分量摆第二行，把 三个分量摆第三行，总而构建出转换到该空间下的转换矩阵。并且再次乘其转置，就可以再次变回来。
第三步：实现
也就是按上面所说的，先转换空间（从右往左看），再绕着转换后空间内的 轴，实际上（也就是在一开始的标准基向量空间）是 向量的旋转我们期望的 度，最后再转换回一开始的空间。注意转换空间的意思只是坐标改变了，但世界上位置不变，就像步骤一里面的 一样，他一直都在 的位置，只不过在另一个空间的坐标为 ，我们只是让它在这两个坐标之间做转换。
上面所说的变换都是方向或者点，还有一种特殊的向量叫做 法线，如果图形应用的变换矩阵我们称为 ，那么 经过 变换之后不再垂于表面，但切线 依然与表面相切。期望求出一个矩阵 ，使得 ，其中 。
下面是证明过程，有兴趣的可以看一下，没兴趣的可以直接跳过图片看结论。
我们并不关心法线的长度，只需要知道它的方向，所以在知道了 之后，按照求逆的公式
进一步就是：
6.3 仿射变换和齐次坐标
以上所有的变换都是 线性变换（原点不变，且直线变换后依然是直线）,而 平移 变换并不满足。我们把一个线性变换 + 一次平移的操作叫做 仿射变换，通过增加一个维度的方式来实现，叫做 齐次坐标。
我们把一个 2D 中的点 写成 ，把 的矩阵写成：
这样应用变换就将写成：
也就巧妙在不改变线性变换的计算时，加入了平移变换。当我们 不想进行平移操作，只想进行线性变换的时候，对于不是位置的向量，比如说偏移，或者方向，确实也不应该在改变物体的时候进行平移。那可以 中的 变成 。并且在变换之后， 依然是 ，也就是方向向量依然是方向向量。（女少）
我们可以把任意多个线性变换和平移变换组合成一个矩阵，在 3D 中也一样，增加一个维度：
看一个例子，下图和式子是表示的同一个过程：
另一种类似的、在 3D 中的变换为，将一个盒子 映射到 。矩阵为：
注意，我们 先 应用一个线性变换，然后再 进行平移，得到的矩阵还是可以很清楚的把线性和平移分离开来，如下面的式子所示。
变换中一个比较重要的类叫做 刚体，他们只有旋转和平移组成，没有拉伸或者缩放。
6.4 变换的逆
我们知道了矩阵的几何意义之后，可以通过几何意义来进行逆操作，比如 的逆就是 ；比如旋转矩阵的逆就是角度变成相反的符号；平移矩阵的逆就是相反的方向。如果我们有一系列的变换 ，那么逆操作就是 。
不过，有些矩阵在代数上也是很好求的，比如说对于缩放矩阵，他是对角矩阵；第二重要的是旋转矩阵，他是正交矩阵，逆就是它的转置。所以使得求旋转和缸体的逆操作都变得简单。当然我们也需要知道，求完逆之后，原矩阵最下面一行不要动，比如是 的话，那逆的最下面一行也是 。
有趣的是，我们也可以使用奇异值分解来求逆，我们知道可以将一个矩阵分解成旋转——缩放——旋转的方式：
那么按照上面说的，这个矩阵的逆就是：
6.5 坐标转换
通常我们会在场景中有一个全局坐标系（世界坐标系），图中的 ，图中有另外一个坐标系 ，还有一个点 。
在 坐标系中， ，这是简写，完整的写法是：
在 坐标系中， ，这是简写，完整的写法是：
我们在存储的时候也只需要存简写的两个数字而已， 这些都存在心里，不会被写出来。如果我们将这种坐标系转换用矩阵表示出来，就是：
我们只是将 按顺序放在列中，并在最底下写上 。也就是以下形式：
反过来的矩阵为：
也就是：
注意 并没有什么特别的，只是我们习惯性将它看成是标准的，所以你完全可以把 到 的矩阵写成：
在 3D 中，也是类似的情况：