蔡勒(Zeller)公式：根据任意日期，计算当天星期几
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蔡勒公式用于根据日期计算那一天是星期几。
回想，如果我们已知一个日期，和那个日期是星期几，根据要求日期和已知日期的差值 mod 7就可以得到要求日期星期几了。当然，蔡勒公式也是基于这个想法实现的，只是加入了一些计算方面的化简转换等操作。
蔡勒公式的形式：
解释：W是星期数；c是4位年份的前两位；y是4位年份的后两位；m是月份，m的取值范围是[3,14]，某年的1、2月看做上一年的13、14月，比如2020年的1月1日看做2019年的13月1日来计算；d是日数；[]是取整运算；mod是求余运算。
拿我写这篇博文的日期做例子试一下吧，2020年02月27日，需要将这个日期看做2019年14月27日。于是，c=20，y=19，m=14，d=27，于是D=5-40+19+4+39+27-1=53，53 mod 7=4，所以2020年02月27日是星期四，查看日历，确实如此。
最后关于蔡勒公式，还需要做两点补充说明：
- 在计算机编程中，W 的计算结果有可能是负数。如果W是负数，就让W+7，得到的就是一个正数了。
- 此公式只适用于格里高利历（也就是现在的公历）。
计算目标日期的星期数是基于基准点日期和目标日期天数差、基准点日期、基准点星期数来计算的，于是我们将天数差记作D。假设基准点日期是yyyy-MM-dd这一天，基准点星期数是星期日。将D划分为3个部分。举例说明一下：基准日期是2010-10-01，目标日期是2020-02-27。
第一部分：2010-10-01到2010-12-31的天数。
第二部分：2011-01-01到2019-12-31的天数。
第三部分：2020-01-01到2020-02-27的天数。
如果将基准日期选择为某一年的12月31日，那么第一部分就可以忽略掉了，再结合这一天是星期日的规则，我们得出一个日期：0000年12月31日，这一天是星期日，此时，就选定了一个基准日期。下面计算D2和D3。
一年最少有365天，考虑到闰年的情况，四年一闰，百年不闰，四百又闰，后面三个取整运算是用来处理闰年的。
下面计算D3，我们将每个月看做28+Excess天，当年的m月之前所有月份Excess的和是Accum(m)，于是可以得到D3的表达式和一个表格：
| 月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 天数 | 31 | 28 | 31 | 30 | 31 | 30 | 31 | 31 | 30 | 31 | 30 | 31 |
| Excess | 3 | 0 | 3 | 2 | 3 | 2 | 3 | 3 | 2 | 3 | 2 | 3 |
| Accum | 0 | 3 | 3 | 6 | 8 | 11 | 13 | 16 | 19 | 21 | 24 | 26 |
从3月份开始，Excess呈现3、2、3、2、3的循环，当m≥3时，Accum(m)的增量也是3、2、3、2、3的循环。也就是每5个月增加13，那么将13÷5作为系数，又因为Accum(m)是离散的整数，那么，我们取x=1,2,3……得到一个表格，观察表格中的数据。
| x | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| f(x) | 10 | 13 | 15 | 18 | 20 | 23 | 26 | 28 | 31 | 33 | 36 |
当x≥4时，f(x)的增量也是3、2、3、2、3的循环，也就是f(x)的增幅（x≥4）和Accum(m)的增幅（x≥3）相同，它们相差一个常数7。当m≥3时，Accum(m)值的序列，相当于x≥4时，f(x)-7值的序列，于是，m≥3时，
考虑m=1和m=2的情况，则有
这里的i表示是否是闰年，如果是闰年，i=1，如果是平年，i=0。
假设有13月，按照3、2、3、2、3增量的顾虑，第13个月天数为31，正好和1月份的天数是一样的，于是将每年的1月和2月当做上一年的13月和14月，因为14月作为最后一个月了，平年闰年的影响只有只有在14月才会出现，但是第14月计算的时候，直接使用d来表示日了，于是i就不需要了，于是D3的公式就变成了这样，此时m取值范围是[3,14]。
因为每年的1月和2月被当做了上一年的13月和14月，在D2的计算中，计算闰日的时候，公式需要做修改，假设要算0004年03月01日对应的D2时，将每一年都看作03月到14月，那么，需要计算3个365天+0003年14月多出的一天（0003年的14月实际是0004年的02月），相当于把0004年的闰日那一天挪到了0003年里，相当于0003年是闰年，于是D2的公式需要调整为：
这里的(y-1)×365是不变的，因为年份差还是y-1，变化的是闰年“提前了一年”。
至此，根据D=D2+D3得到的公式是：
后面的操作是用D mod 7，不如现在将D mod 7化简一下，化简结果为：
用上式计算每世纪第一年的03月01日的星期数，得到下表：
| 年份 | 1,401,801,……,2001 | 101,501,901,……,2101 | 201,601,1001,……,2201 | 301,701,1101,……,2301 |
| 星期数 | 4 | 2 | 0 | 5 |
可以发现，每隔4个世纪，星期数就重复一次。又因为5 mod 7 = 5，-2 mod 7 = 5，所以将上面表格中的5看做-2，再看4、2、0、-2，这是一个等差数列。所以每个世纪第一年的03月01日的星期数是
，其中c是世纪数-1。带入某个世纪第一年的03月01日，可以得到：
利用同余定理变换得：
于是，在每世纪的第一年，计算D的公式可以更新为
这个公式只适用于每世纪的第一年，需要再加上计算闰日的部分，就可以计算这个世纪其他年份日期的星期数了。
因为365 mod 7 = 1，所以化简为
假设，那么，于是，，带入上式可得：
这便是蔡勒公式的最终形式。