立体几何之目：2017年文科数学全国卷C题19

2017年文科数学全国卷C题19

如图，四面体 中， 是正三角形，

（1）证明： ；

（2）已知 是直角三角形， ，若 为棱 上与 不重合的点，且 ，求四面体 与四面体 的体积比.

2017年文科数学全国卷C

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M为AC中点

【解答第1问】

作 中点 ，并连接 .

∵ , ∴

同理可证：

∴ 平面 , 而 平面 , ∴ .

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【解答第2问：思路一】

连接 .

∵ 平面 , 而 平面 , ∴ . 又∵ , ∴ .

∵ , , , , ∴ . （两个等腰直角三角形的斜边都是 ）

∴

∵ ,

∴ ,

∴

又∵ , ∴

∴ , ∴ .

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【解答第2问：思路二】

∵ , , ∴

∴

∵ , ∴

∴

又∵ , ∴ , ∴ , ∴

∵ , ∴ , ∴

∴ , ∴

∴ , ∴ .

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【提炼与提高】

面积与体积是几何学的基本问题。

体积比可以转化为面积比；面积比可以转化为线段长度比。灵活应用这种转化可以解决很多问题。

四面体的体积公式看起来平淡无奇，在实际应用中却是灵活多变。需要在解题过程中细细品味。

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【回归教材】

本题第1问是一个经典的问题，在高考中多次出现。参见：人教版《数学-必修2》§2.3.2 练习1（p67）.

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【相关考题】

以下考题所用模型与本题相似。请注意比较。

2007年文科数学海南卷题18

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