19-二分-值域二分-有序矩阵中第 K 小的元素

这是二分法的第19篇算法，力扣链接。

给你一个 n x n 矩阵 matrix ，其中每行和每列元素均按升序排序，找到矩阵中第 k 小的元素。
请注意，它是 排序后 的第 k 小元素，而不是第 k 个 不同 的元素。

你必须找到一个内存复杂度优于 O(n2) 的解决方案。

示例 1：

输入：matrix = [[1,5,9],[10,11,13],[12,13,15]], k = 8
输出：13
解释：矩阵中的元素为 [1,5,9,10,11,12,13,13,15]，第 8 小元素是 13

 这道题很抽象，他告诉我们行和列都是有序的。但是不代表下一列一定大于上一行。

老规矩，直接上暴力法，先把所有数字存起来然后排序。

func kthSmallest(matrix [][]int, k int) int {
	nums := make([]int, len(matrix)*len(matrix[0]))
	index := 0
	for _, row := range matrix {
		for _, num := range row {
			nums[index] = num
			index++
		}
	}
	sort.Ints(nums)
	return nums[k-1]
}

那这道题二分法怎么搞呢？

首先明确，无论这个分布怎么诡异，在matrix[0][0]的数一定matrix[len(matrix)-1][len(matrix[0])-1]的数小。我门可以利用这两个值当作边界，往中间找mid，移动左右边界的逻辑可以根据小于等于mid的数的多少。当左右指针相等的时候返回指针就可以了。

这时候还会有一个疑问，当左右指针相等的时候，那个边界的值真的存在吗，这个值不是根据mid左右移动算出来的吗。

其实很简单，求出矩阵元素排序后，把矩阵分成两份，且使得前一份包含k个元素的数值范围左边界值(满足条件的数值可能是个范围，有些值不存在矩阵中，但这个左边界值一定在矩阵中)。可以尝试去推导一下，会发现这个结论是存在的。

上代码：

func kthSmallest(matrix [][]int, k int) int {
	l, r := matrix[0][0], matrix[len(matrix)-1][len(matrix[0])-1]
	for l <= r {
		mid := l + (r-l)/2
		if count(mid, matrix) < k {
			l = mid + 1
		} else {
			r = mid - 1
		}
	}
	return l
}

func count(mid int, matrix [][]int) int {
	result, x, y := 0, len(matrix)-1, 0
	for x >= 0 && y < len(matrix[0]) {
		if matrix[x][y] <= mid {
			result += x + 1
			y++
		} else {
			x--
		}
	}
	return result
}

这个count是有点学问的，这个是一列一列的加数字，梯形的方式加。