基于傅里叶变换的图像增强

        傅里叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。该算法表明：任何连续测量的时域信号，都可以表示为不同正弦波信号的无限叠加。图像也是一种信号，本文对用于图像增强的几种典型的滤波器，理想滤波器、巴特沃斯滤波器和高斯滤波器的设计原理进行了展开，并利用MATLAB分别对图像进行了增强，结果表明，利用傅里叶变换在频率域处理图像有着非常好的效果。

在频域处理图像的基本原理:

        频率域图像是把空间域图像像素的灰度值表示成随位置变换的空间频率，并以频谱（也称为频率图）的形式表示图像信息分布特征的一种表示方法2。频率域图像处理是指在图像的频率域中对图像进行某种处理的方法，这种方法是以傅里叶变换为基础，即先通过傅里叶变换将图像从空间域变换到频率域，然后用频率域方法对图像进行处理，处理完后再利用傅里叶反变换把图像变换回空间域，得到普遍意义上的图像。

 转移函数

        转移函数，也称频域滤波函数，设计转移函数是设计频域滤波器中最重要的一步，即也是频域处理图像的关键。将图像的频谱图乘以转移函数，就可得到处理后的频谱图。因为中心化后的频谱图，中间为低频信号，四周为高频信号，所以合理设计转移函数，就可以根据自己对高频信号和低频信号需要，达到图像处理的目的。减少高频信号，就可以滤除图像噪声，对图像进行平滑处理；减少低频信号，就可以加强图像边缘，对图像进行锐化处理。

几种常用滤波器

1、理想滤波器

理想低通滤波器的转移函数为：

理想高通滤波器的转移函数为：

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        理想低通滤波器的原理是保留距离原点固定长度范围内的频率，大部分是低频信息，将范围外的频率滤除置0，大部分高频信息，可以用此消除高频噪声；理想高通滤波器的原理是保留距离原点固定长度范围外的频率，将范围内的频率置0，滤除部分平滑的低频信息，使图像锐化，突出图像细节信息。但是在实际应用中用电子元件实现直上直下的理想滤波器是不可能的，因此是“理想”的。

MATLAB代码实现：

结果：

 2、巴特沃斯滤波器

  n阶巴特沃斯低通滤波器的转移函数为：

 n阶巴特沃斯高通滤波器的转移函数为：

        巴特沃斯滤波器是滤波器的一种设计分类，类同于切比雪夫滤波器，它有高通，低通，带通，带阻等多种滤波器。它在通频带内外都有平稳的幅频特性，但有较长的过渡带，在过渡带上很容易造成失真，在调用MATLAB里的巴特沃斯滤波器做仿真时，信号总会在第一个周期略微有些失真。但往后的幅频特性就非常的好。 

代码：

 运行结果：

 3、高斯滤波器

        高斯滤波器是一种线性滤波器，能够有效的抑制噪声，平滑图像。与理想滤波器相比，理想滤波器没有中间过渡带，有良好的通带截止特性，而其在阻带内衰减为无穷大，这样阻带内各频率分量可以被完全抑制掉。截频处衰减的剧烈变化导致这样的滤波器单位冲激响应和单位阶跃响应有过冲。而高斯滤波器则相反，它在截频处的衰减变化缓慢，所以单位脉冲激响应和单位阶跃响应没有过冲3。高斯滤波器还具有理想的时域响应特性，这些特性对于某些领域的应用特别重要。

代码：

 结果：