信息奥赛C++学习笔记——单调队列

单调队列

一.简介
单调队列，顾名思义就是具有单调性的队列，它有如下两个性质 ：
1.队列中的元素大小是递增/递减的（其实也可以自定义）。
2.队列中元素的序号（对应在原序列中的序号）必须是单调递增的，即元素下标递增。
二.作用
1.求解动态区间最大值（比线段树快捷）
2.求解数组中第一个大于/小与某元素x的数
3.优化dp（QWQ然而蒟蒻不会）
1,2会在具体例子中详解。
三.前提知识
单调队列与普通队列的一个差别是：元素既可以从队尾出列，也可以从队首出列，因此需要用双向队列（deque）实现。
deque a;//<>内自定义数据类型；
deque.push_back(k); //在容器尾部添加一个数据
deque.push_front(k); //在容器头部插入一个数据
deque.pop_back(); //删除容器最后一个数据
deque.pop_front(); //删除容器第一个数据
四.作用之——求解动态区间最大/小值
这里以滑动窗口为模板。
算法流程如下（求滑动窗口最小值）：
1.若队列为空，将A[i]从队尾入队
2.若队列不为空，将比A[i]大的元素都从队尾弹出，然后把A[i]入队
3.若队列不为空且A[i]大于队尾，则直接从队尾把A[i]入队
4.若队首元素下标不在区间内，从队首弹出
下面描述同理（略显啰嗦可跳过）
维护一个单调递增队列，队列里每一个元素有两个值，下标与大小。保证队首元素（队列最小值）始终作为答案。每当新的元素x入队，比较x与队尾元素y[1]的大小，如果x>y，则x入队；如果x<=y，则y出队，继续比较新的队尾元素y[2]与x的大小…直到x>y[i](或者队列为空），x入队。
如此，保证队列内元素下标递增，大小递增。同时，保证队列中元素下标在区间内，不在区间内的及时从队首出队（deque的用处所在）。

模拟：有 7 6 8 12 9 10 3 七个数字，窗口大小为4，求每个窗口内的最小值。
q为大小队列，p为编号队列。
1.q={ 7 },p={1}//第一个元素入队；
2.q={ 6 }.p={2}// 6比7小,7出,6进；
3.q={6,8},p={2,3}//8比6大，8进；
4.q={6,8,12}, p={2,3,4}//12比8大,12进 窗口区间[1,4];
5.q={6,8,9},p={2,3,5}// 9比12小,12out,9比8大,9进,窗口区间[2,5]；
6.q={8,9,10},p={3,5,6}//10比9大,10进，窗口区间[3,6],因为元素6的下标是2,不在[3, 6],中,故6out;
7.q={3},p={7}// 3比单调队列为{ 8，9, 10}的任意值都小,故全out,最终集合为 { 3 }；
窗口从4.开始滑动，q的队首元素始终作为答案，故结果为6 6 8 3。

代码如下

#include
using namespace std;
int n,m,a[1000001];
struct node{
    int t,s; //存储下标和大小
}r;
deque<node>q1;
deque<node>q2;
int min_deque(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
    	r.t=i,r.s=a[i];
		while(!q1.empty()&&a[i]<=q1.back().s)//维护单调递增队列 
			q1.pop_back();
		q1.push_back(r);
		while(q1.front().t<=i-m)
			q1.pop_front();
		if(i>=m) printf("%d ",q1.front().s);
	}
}
int max_deque(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
    	r.t=i,r.s=a[i];
		while(!q2.empty()&&a[i]>=q2.back().s)//维护单调递减队列 
			q2.pop_back();
		q2.push_back(r);
		while(q2.front().t<=i-m)
			q2.pop_front();
		if(i>=m) printf("%d ",q2.front().s);
	}
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    min_deque();
    cout<<endl;
    max_deque();
    return 0;
}

五作用之——求第一个大于/小于元素x的数
这里以P2947向右看齐为例
题目大意即给定一排奶牛的身高，求每个奶牛向右看齐时找到的第一个大于她身高的奶牛的编号
算法流程如下：
维护一个单调递减队列
1.若队列为空，将A[i]从队尾入队
2.若队列不为空且A[i]大于队尾，则直接从队尾把A[i]入队
3.若队列不为空，将比A[i]大的元素都从队尾弹出，然后把A[i]入队，并且标记所有弹出的元素仰望对象为A[i]

代码如下：

#include
using namespace std;
int n,b[100086];
struct qing{
	int s,No;
}a[100086];
deque<qing>q;
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i].s);
		a[i].No=i;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		while(!q.empty()&&a[i].s>q.back().s){
			b[q.back().No]=a[i].No;
			q.pop_back();
		}
		q.push_back(a[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		printf("%d\n",b[i]);
	}
	return 0;
}