【动态规划】01背包问题详解 超详细 总结 dp

什么是0-1背包问题？

0-1背包问题：有n件物品和一个容量是m的背包。每件物品只能使用一次。第i件物品的体积是v[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大，输出最大价值。

dp问题的通用分析方法

• 先考虑用几维状态来表示，背包问题一般用两维表示。【经验】
• 状态计算是把每个状态一步一步算出来。
• DP优化一般是指对动态规划的代码或计算方程做一个等价变形。一般是先将最基本的代码写出来再考虑去优化。
• 这里介绍的DP理解方式是从集合的角度去理解。这里以0-1背包为例子，f(i, j)对应一个集合，是只考虑前i个物品，且背包容量不超过j的所有选法构成的一个集合。（一个选法是指从第1到第i个物品，经过的物品你要么选，你要么不选，这就构成一种选法）
• f(i, j)一定是集合的某种属性（这种属性一般可以是Max、Min、数量等等）

具体分析

• 这里的f(i, j)表示从前i个物品选，背包总体积 <= j，使得背包总价值最大的值。

⭐分两种情况看：要么不含第i种物品，要么含第i种物品。
1、显然，不含第i种物品的最大值f(i, j) = f(i - 1, j)。
2、求含第i种物品的f(i, j)不好直接算，可以间接考虑一个例子：全班小明排名第一，但一些同学成绩太差，老师为了照顾这部分同学，每个人都加上了w分，但小明排名第一依旧不变。因为含第i种物品就必定装进了一个物品i，所以我们可以参照上述例子把装进来的那件物品i去掉，因为这样不会影响最大值，去掉之后就是f(i - 1, j - v[i])，所以含第i种物品的最大值f(i, j) = f(i - 1, j - v[i]) + w。

代码——朴素版

#include 
using namespace std;

const int N = 1010;
int w[N], v[N], f[N][N];
int n, m;
int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
    // j = 0或i = 0的情况f[i][j] = 0，而数组已经默认初始化为0。
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= m; j++){
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    printf("%d", f[n][m]);
    return 0;
}

代码——最终版

两个可优化的点：
1、我们观察到f(i, j)只用到了f(i - 1, j)，也就是在第i层时只用到了i-1层，可用滚动数组来做。
2、又发现无论是f(i, j)还是f(i, j - v[i])，其中的j和j - v[i]都是小于等于j的，所以可以用一维数组做。（第i层是利用第i - 1层数据更新的，所以从后向前更新）

#include 
using namespace std;

const int N = 1010;
int w[N], v[N], f[N];
int n, m;
int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
    // 1、我们观察到f(i, j)只用到了f(i - 1, j)，
    // 也就是在第i层时只用到了i-1层，可用滚动数组来做。

    // 2、又发现无论是f(i, j)还是f(i, j - vi)，其中的j和j - vi都是小于等于j的
    // 所以我们就可以优化到一维数组来做。
    // 为了第i层是利用第i - 1层数据更新的，所以从后向前更新。
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = m; j >= v[i]; j--){
            if(j >= v[i]) f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    printf("%d", f[m]);
    return 0;
}