算法竞赛备赛进阶之区间DP训练
区间动态规划（Interval Dynamic Programming，简称 IDP）是一种动态规划算法，用于解决包含区间状态的优化问题。在区间动态规划中，问题可以划分为多个不重叠的区间，每个区间可以独立求解，并且状态在相邻区间之间是独立的。
区间动态规划的基本思想是将原问题转化为一系列子问题，每个子问题只涉及一个区间，然后使用动态规划算法求解每个子问题。在求解每个子问题的过程中，可以使用状态转移方程来更新区间状态。
下面是一个简单的例子，说明如何使用区间动态规划求解区间和问题。假设给定一个整数数组 nums 和一个整数 m，要求找到一个连续的子数组，使得该子数组的和不超过 m，并且该子数组的长度最大。
int maxSubArrayLen(int m, int n, int* nums)
{
int dp[n+1][m+1];
memset(dp, 0, sizeof(dp));
dp[0][0] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 0; j <= m; j++)
{
if (i == 1)
{
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}
else
{
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-nums[i-1]] + nums[i-1]);
}
}
}
return dp[n][m];
}在这个例子中，我们使用二维数组 dp 来保存状态，其中 dp[i] [j] 表示在前 i 个元素中选择不超过 j 的最大和。初始状态为 dp[0] [0] = 0。然后我们使用两个嵌套的循环来遍历所有可能的状态，对于每个状态，我们可以使用状态转移方程来更新它。最后返回 dp[n] [m] 即可得到最大和不超过 m 的最长子数组的长度。
需要注意的是，在实际应用中，需要根据具体问题来设计状态转移方程和初始化状态。同时，还需要考虑如何处理边界条件和特殊情况。
1.环形石子
将n堆石子绕圆形操场排放，现在要将石子有序合并成一堆。
规定每次只能选相邻的两堆合并成新的一堆，并且新的一堆石子数记作该次合并的得分。
请编写一个程序，读入堆数n及每堆的石子数，并进行如下计算：
输入格式：
第一行包含整数n，表示共有n堆石子。
第二行包含n个整数，分别表示每堆石子的数量。
可以将数据变成两倍，从而实现所有的序列。
-
迭代式
for(int len = 1;len <= n; len++) for(int L = 1;L + len - 1 <= n; L++) R = L + len - 1; -
记忆化搜索
#include
#include
using namespace std;
const int N = 410, INF = 0x3f3f3f3f;
int n;
int s[N], w[N];
int f[N][N], g[N][N];
int main()
{
scanf("%d", &n);
for(int i = 1;i <= n; i++)
{
scanf("%d", &w[i]);
w[i + n] = w[i];
}
for(int i = 1;i <= n * 2; i++) s[i] = s[i - 1] + w[i];
memset(f, 0x3f, sizeof(f));
memset(g, -0x3f, sizeof(g));
for(int len = 1;len <= n; len++)
for(int l = 1;l + len - 1 <= n * 2; l++)
{
int r = l + len - 1;
if(len == 1)
f[l][r] = g[l][r] = 0;
else
{
for(int k = 1;k < r; k++)
{
f[l][r] = min(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r] + s[r] - s[l - 1]);
g[l][r] = max(g[l][r], g[l][k] + g[k + 1][r] + s[r] - s[l-1]);
}
}
}
int minv = INF, maxv = -INF;
for(int i = 1;i <= n; i++)
{
minv = min(minv, f[i][i + n - 1]);
maxv = max(maxv, g[i][i + n - 1]);
}
cout << minv << endl << maxv << endl;
return 0;
} 2.能量项链
在 Mars 星球上，每个 Mars 人都随身佩带着一串能量项链，在项链上有 NN 颗能量珠。
能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。
并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。
因为只有这样，通过吸盘（吸盘是 Mars 人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。
如果前一颗能量珠的头标记为 m，尾标记为 r，后一颗能量珠的头标记为 r，尾标记为 n，则聚合后释放的能量为 m×r×n（Mars 单位），新产生的珠子的头标记为 m，尾标记为n。
需要时，Mars 人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。
显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。
例如：设 N=4，4 颗珠子的头标记与尾标记依次为 (2，3)(3，5)(5，10)(10，2)。
我们用记号 ⊕⊕ 表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k) 表示第 j，k 两颗珠子聚合后所释放的能量。则
第 4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：(4⊕1)=10×2×3=60。
这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为 ((4⊕1)⊕2)⊕3)=10×2×3+10×3×5+10×5×10=710。
输入格式
输入的第一行是一个正整数 N，表示项链上珠子的个数。
第二行是 N 个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过 1000，第 i 个数为第 i 颗珠子的头标记，当 i 至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。 给定一个具有N个顶点的凸多边形，将顶点从1至N标号，每一个顶点的权重都是一个·正整数。 将这个多项式划分成N-2个互不相交的三角形，对于每个三角形，其三个顶点的权值相乘。 是一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（1,2,3,4,......,n)，其中的数字1,2,3,4,......,n为节点。 每个结点都有一个分数（均为正整数），记作第i个节点的分数为d，tree及它的每一个子树都有一个加分，任意模子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下： subtree的左子树的加分 * subtree的右子树的加分 * subtree的根的分数 若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶结点本身的分数，不考虑它的空子树。 试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,4,......,n)且加分最高的二叉树tree。 要求输出： tree的最高加分项 tree的前序遍历 输入格式： 第一行：一个整数n，为节点个数 第二行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数(分数<100) 闫氏DP分析法： 动态规划： 状态表示f[l,r]： 集合：所有中序遍历是[l,r]这一段的二叉树的集合 属性：max 状态计算：w[u] + tree[r] * tree[l] 将一个 8×8 的棋盘进行如下分割：将原棋盘割下一块矩形棋盘并使剩下部分也是矩形，再将剩下的部分继续如此分割，这样割了 (n−1) 次后，连同最后剩下的矩形棋盘共有 n 块矩形棋盘。(每次切割都只能沿着棋盘格子的边进行) 原棋盘上每一格有一个分值，一块矩形棋盘的总分为其所含各格分值之和。 现在需要把棋盘按上述规则分割成 n 块矩形棋盘，并使各矩形棋盘总分的均方差最小。 均方差 ，其中平均值 ，xi 为第 i 块矩形棋盘的总分。 请编程对给出的棋盘及 n，求出均方差的最小值。 输入格式 第 1 行为一个整数 n。 第 2 行至第 9 行每行为 8 个小于 100 的非负整数，表示棋盘上相应格子的分值。每行相邻两数之间用一个空格分隔。 闫氏DP分析法： 动态规划： 状态表示f[x1, y1, x2, y2] 集合：将子矩阵(x1, y1)(x2, y2)切分成k部分的所有方案 属性是 最小值 状态计算 子矩阵的和#include3.凸多边形的规划
#include4.加分二叉树
#include5.棋盘分割
#include#include