模糊综合评价法——解决评价指标模糊、难以量化的问题

模糊综合评价法

一、概述

二、经典集合和模糊集合的基本概念

三、隶属函数的三种确定方法

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一、概述

（1）数学中研究的量的划分
        确定性的量：经典数学（几何、代数）
        不确定性的量：随机性（概率论、随机过程）；灰性（灰色系统）；模糊性（模糊数学）
（2）什么是模糊性
        模糊性是与确定性相对的概念。比如生活中的性别、天气、年龄、身高、体重……这些都是确定性概念；而帅、高、白、年轻……则都是模糊性概念（因为没有非常科学的方法来定义这些量）。
（3）模糊数学的介绍
        模糊数学⼜称Fuzzy （模棱两可的）数学，是研究和处理模糊性现象的⼀种数学理论和方法。模糊性数学发展的主流是在它的应⽤⽅⾯。 由于模糊性概念已经找到了模糊集的描述⽅式，⼈们运⽤概念进⾏判断、评价、推理、决策和控制的过程也可以⽤模糊性数学的⽅法来描述。例如模糊聚类分析、模糊模式识别、模糊综合评判、模糊决策与模糊预测、模糊控制、模糊信息处理等。 这些⽅法构成了⼀种模糊性系统理论，构成了⼀种思辨数学的雏形，它已经在医学、⽓象、⼼理、经济管理、⽯油、地质、 环境、⽣物、农业、林业、化⼯、语⾔、控制、遥感、教育、体育等⽅⾯取得具体的研究成果。

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二、经典集合和模糊集合的基本概念

（1）经典集合（classical set）和特征函数（characteristic function）
        a）经典集合：具有相同属性的事物的集体。例如自然数集、颜色、性别、手机品牌。
        b）经典集合的基本属性：①互斥性：若a∈A，b∈A，则a  b ; ②确定性：对于a，要么有a∈A，要么有a∉A（非此即彼）。
        c）数学中对于经典集合的刻画：特征函数
        f：U{0,1}  （意思是函数 f作用于U上，把U中的每一个元素映射到0和1的一个集合里面）。其中 f：A集合的特征函数；U：论域（我们感兴趣的一些对象的集合）。
        举个例子：
        设A是表示成绩及格的集合，即A = {60,61,…,100}， f = ，U是全班成绩的一个集合{68,77,…,40}；则对 x  U， f =  （注：U可看作定义域，{0,1}可视为值域）

（2）模糊集合（fuzzy set）和隶属函数（membership function）
        a）模糊集合：用来描述模糊性概念的集合。（帅、高、白、年轻）
        b）与经典集合相比，模糊集合承认亦此亦彼。（所以对于a，它可能属于A，也可能属于B，我们关心的是a∈A或者a∈B的“概率”，也就是隶属度）
        c）数学中对于模糊集合的刻画：隶属函数
        g：U[0,1]  （注意与{0,1}的区别，经典集合{0,1}中只有0和1两个元素，而模糊集合[0,1]是一个区间，其中有无数种可能）其中g称为模糊集合A的隶属函数。
        举个例子：
        设A是表示“年轻”的一个集合，U=（0,150）表示年龄的集合，那什么是隶属函数呢？
        
        比如就是一个隶属函数，对应的1，(40-x) / 20 ，0就是相应x值的隶属度。注意：隶属函数不唯一！这里20x40时，还可以是其他的解析式。（后面我们再来讲确定隶属函数的三种常见方法）因此，对于U中每一个元素，均对应于模糊集合A中的一个隶属度，隶属度介于[0,1]，越大表示越属于这种集合。
注：若对于一个模糊集合A我们给定了一个隶属函数，则我们可以将A和视为等同。（方便符号表示，即）
        d）模糊集合的三种表示方法
        设论域U = {x,x,…,x}是我们感兴趣的一些对象的集合，模糊集合为A，隶属度为，i=1,2，…，n.

        ①Zadeh表示法（扎德表示法）：

注意：这里的“+”不要理解为加法，只是一种记法而已，便于论域U为无限集合的表示。

        ②序偶表示法：

        ③向量表示法：

举个例子：现有四个人：张三、李四、王五、老六，其知法程度分别为0.9、0.6、0.7、0.8，试用模糊集合对其表示。
解：U = {张三，李四，王五，老六}，A = 知法程度，A(张三) = 0.9（即 (张三)=0.9 ），A(李四) = 0.6，A(王五) = 0.7，A(老六) = 0.8.则

        ① A = 0.9/张三 + 0.6/李四 + 0.7/王五 + 0.8/老六 
        ② A = { (张三,0.9)，(李四,0.6)，(王五,0.7)，(老六,0.8) }
        ③ A = {0.9，0.6，0.7，0.8}
特别地，当论域U为无限集合时， （用一个积分号来表示）

        e）模糊集合的分类
        一般的，我们可以将模糊集合分为三类：
                偏小型：年轻、小、冷
                中间型：中年、中、暖
                偏大型：年老、大、热
        一般在确定隶属函数时，偏小型图像递减，中间型图像先递增后递减，偏大型图像递增。

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三、隶属函数的三种确定方法

（1）模糊统计法（比赛中很少用，要设计发放问卷，可能来不及，但在实际做研究中用的较多）

        原理：找多个人去对同一个模糊概念进行描述，用隶属频率去定义隶属度。
        例子：定义“年轻人”的隶属函数
        ①定义人的年龄为论域U，调查n个人；
        ②让这n个人仔细考虑好“年轻人”的含义后，给出他们认为的最合适的年龄区间；
        ③对于任意一个确定的年龄，比如25岁，若这n个人中有m个人给出的“年轻人”的年龄区间包含有25，则称 m/n 为25岁对于“年轻人”这个概念的隶属频率；
        ④以此类推，我们可以找出所有年龄对于“年轻人”的隶属频率；
        ⑤若n很大时，隶属频率会趋于稳定，此时我们可将其视为隶属度，进而得到隶属函数。

（2）借助已有的客观尺度（需要有合适的指标，并能收集到数据）

论域	模糊集	隶属度
设备	设备完好	设备完好率
产品	质量稳定	正品率
家庭	小康家庭	恩格尔系数

比如说这里，“设备完好”、“质量稳定”、“小康家庭”都是几个比较模糊的概念，但我们可以分别借助设备完好率（设备完好个数/设备总数）、正品率（正品数/产品总数）、恩格尔系数来表示隶属度

。
注：这里我们找的指标必须介于0和1之间，如果不是则需要进行归一化处理   ，

（3）指派法（根据问题的性质直接套用某些分布作为隶属函数，主观性较强）

eg1.请用柯西分布确定“年轻人”的隶属函数。
解：“年轻人”是偏小型，对应的柯西分布。显然，这里面有三个未知参数a、α、β，其中a是分段点，根据生活经验（或别人的研究成果、常识），我们令a=20，A(30)=0.5（因为40岁一般是中年人，30在20—40中间，故其隶属度可设为1/2），同时，β在指数部分，我们一般倾向于简化模型，则β可取1或者2，由这些又可解出α=0.01.

eg2.已知某一天SO的浓度为0.07/，大气污染物中关于SO的评价标准为：

Ⅰ级	Ⅱ级	Ⅲ级	Ⅳ级
0.05	0.15	0.25	0.50

试确定SO在每个等级中的隶属度。

分析：SO浓度越大说明等级越高，因此，Ⅰ级为偏小型，Ⅳ级为偏大型，Ⅱ级和Ⅲ级为中间型。确定隶属函数我们一般用的最多的是梯形分布。结合梯形分布函数特点我们可得四个等级的隶属函数分别如下：

 （等号在哪一边无所谓，一般使用梯形分布最为简单）
则   ，，  .

（注：使用梯形分布得到的各评语的隶属度的和恰好为1，但其他分布得到的各评语的隶属度的和不一定为1）

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下节我们主要讲下第四部分：模糊综合评价在具体案例中的应用。