高中奥数 2021-05-28

2021-05-28-01

（本题来源：奥数教程 第三版 高一年级 熊斌 冯志刚 李兴怀 集合的概念与运算 P5）

设集合的元素都是正整数,满足如下条件:

(1)的元素个数不小于;

(2)若,则的所有因数都属于;

(3)若,,,则.

请解答下面的问题:

(1)证明:1、2、3、4、5都是集合的元素;

(2)问:2005是否是集合的元素?

解

(1)由(2)可知.

设,,.若、中至少有一个偶数,则;若、都是奇数,则是偶数,故.

设1、2、,则

若是偶数,则,于是;若是奇数,则把当作,重复上面的过程可得.

又,所以,,,所以.

所以,1、2、3、4、5都是集合的元素.

(2)2005是集合的元素.因为,故,进而

都是集合的元素.

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（本题来源：奥数教程 第三版 高一年级 熊斌 冯志刚 李兴怀 集合的概念与运算 P6）

设是由的所有正因数组成的集合.是的一个子集,其中没有一个数是另一个数的倍数.求的最大值.

解

假设下文中的都是非负整数.因为.

令,所以是的一个子集且含有个元素.下面我们证明中没有一个数是另一个数的倍数,并且其他元素个数超过的子集都不满足这个条件.

假设是的倍数,则

第一个不等式表明,后两个不等式相加得,所以,所以.故中没有一个元素是另一个的倍数.

设是的一个超过个元素的子集.因为只有互异的,由抽屉原理,中必有两个元素,,其中,而.

若,则是的倍数;若,则是的倍数.因此不满足题设条件.

所以的子集个数最多可以含有个元素.