电机控制——PID基础

本文来讲一下PID调节器。

在实际的系统中，因为摩擦、阻力等外界因素的存在，系统的实际输出与我们期望的输出通常存在误差，PID的目的就是调节系统的实际输出，使其更快更稳地贴近期望输出。

PID模块被周期性的调用，模块的输入是实际输出与期望输出之间的误差值，模块的输出是一个补偿，这个补偿输入给系统，使得系统的输出增大或减小，逐步贴近期望输出。

这里需要注意一下，系统的输出不可能阶跃性的增加，是需要时间的，比如车辆提速、水位升高等。PID模块通过控制系统的输入，使得系统的输出在一个PID周期内增加所期望的补偿值。其实可以理解为PID输入给系统的是一个加速度，或输出曲线增长的斜率。

P —— 比例调节

PID中的P是比例调节，就是每次将误差值乘以一个比例系数（后文称为P），输入给系统。比如，期望输出是10，当前系统输出是2，那么误差是8，假设P是0.5，那么补偿就是8*0.5=4，输入给系统，系统输出变成6。下一个调节周期中，误差变为4，补偿变为2，系统输出变为8。以此类推，我们可以知道系统输出最终会无限接近于期望输出。且比例系数越大，调节速度越快。

上述系统是一个理想系统，即我们输入的补偿是多少，输出就增加多少。该系统中输入函数x(t)是一个单位阶跃函数，输出函数y(t)是对输入参数x在0-t时段内的定积分，反之则是输入参数x是y(t)的导数，即斜率，这个从后面的曲线中也可以看出来。y(t)是一个斜坡函数，所以系统的传递函数H(s) = Y(s) / X(s) = (1/s²) / (1/s) = 1/s，用simulink建模如下：

设置PID运行周期为1S，PID模块中参数P设置为0.5，运行结果如下，红色是期望输出，黄色是PID计算得到的补偿，蓝色是系统实际输出。我们可以看到PID的输出是系统输出曲线的斜率。

P越大，系统输出收敛的越快，下图P=0.8：

把P设置为1，运行结果如下，也就是说一个PID周期直接把系统输出调节到了期望输出：

当P大于1的时候，系统输出就会出现震荡，下图为P=1.5：

当P大于等于2时，系统就无法进入稳定状态，下图为P=2.1：

但是实际系统中会存在阻力和误差，比如在一个PID调节周期内，摩擦等因素会使系统的输出降低1，还是用上面的例子，P设置为0.5，当系统的输出 ≥ 8的时候，PID输出的补偿就会 ≤ 1，即输入给系统的补偿量小于系统在一个周期内的损耗，这时系统的输出将永远也无法达到预期的输出10，只会稳定在8附近。这个就叫稳态误差，只有P的调节器无法消除稳态误差，P的作用是能使输出快速向期望输出靠拢。

我们在simulink中创建上述存在摩擦的系统，摩擦使系统的输出降低1，可以看作是系统始终有一个-1的输入（理想系统为y = x，损耗为y = -1，两者相加即 y = x - 1），所以修改模型如下，在系统的输入上叠加一个值为-1的常量：

仿真结果如下，我们可以看到系统输出最终稳定在8附近：

把叠加的输入改为-2，系统稳定在6附近;

I —— 积分调节

要想消除稳态误差，就要用到PID中的I了，I是指积分，是把前面所有的误差值加起来，再乘以一个系数，作为一个补偿输入给系统。也就是说只要误差不为0，那么PID计算得到的补偿值就会持续增大，直到误差为0，所以I调节器能消除稳态误差。

我们将PID控制器的参数设置如下：

仿真结果如下：

可以看到稳态误差被消除了，但出现了振荡，I系数越大，稳态误差消除得越快，但振荡可能会更大，下图是把I设置为0.2的仿真结果：

D —— 微分调节

如何解决引入I之后导致的振荡问题呢，就要用到PID中的D了，D是指微分，误差的微分就是误差变化的快慢，当系统输出逐渐接近期望输出的时候，误差的变化率总是越来越小的，把这个变化率乘以微分系数D，再叠加到补偿上，能使系统输出在前期快速增加，在接近期望输出的时候增加的更慢，从而达到抑制振荡的效果。我们下面看一个更复杂一点的系统模型：

PID模块参数先设置如下，不加微分补偿：

仿真结果如下：

再把参数D设置为0.5，仿真结果如下，可以看到振荡被很好地抑制了：

但是微分调节在实际工作中并不常用，因为微分调节在实际应用中往往会引入噪声，导致系统不稳定。通常只用到PI两个调节器。