微积分-第三章指数函数与对数函数

第三章 指数函数与对数函数

3.1 基础定义

大家还记得在第一章函数中关于指数和对数的注释吗？让我们简单的回顾一下。

3.1.1 指数

简单的来说，指数函数是指将一个实数作为底数提升为指数次方的幂。
$$底{数}^{指数}$$
例如：$2^3$是以2为底数3为指数的一个幂。$f(x)=2^x$则是以2为底的指数函数。

为了使指数便于定义，规定其底数必须大于0且不能等于1，指数是任意实数。指数具有许多的法则和性质，可以帮助我们进行指数运算。对于任意底数$b>0$，和任意正数$x$和$y$:

• $b^0=1$ 任意底数的零次幂都是1
• $b^1=b$ 任意底数的1次幂都是它自身
• $(b^x{)}^y=b^{xy}$ 当取幂的幂时，将其指数相乘
• $b^x\times b^y=b^{(x+y)}$ 同底数的两个幂相乘时，将其指数相加
• $\frac{b^x}{b^y}=b^{x-y}$ 同底数的两个幂相除时，将分子的指数减去分母的指数
• $b^{\frac{y}{x}}=\sqrt[x]{b^y}$ 底数的分数次幂等于底数提升到分子次方然后开分母次方根
• $b^{-x}=(\frac{1}{b}{)}^x$ 底数的负数次幂等于底数的倒数的正数次幂。
• $1^x=1$ 1的任意次幂都是1
• $0^x=0$ 0的任意次幂都是0，但是$0^0$是未定义的

3.1.2 对数

对数是指数的逆运算。简单的来说对数是指将底数$b$在幂运算中提升为真数$y$的指数。
$$b^{{\log }_b(y)}=y$$
这个恒等式对于任意底数$b>0$且$b\ne 1$和任意真数$y>0$成立。要求$b>0$是因为对数函数是指数的逆运算。如果$b<0$则会出现未定义的情况。如当$b=-1$，$y=\frac{1}{2}$时就会出现$\sqrt{-1}$,我们知道二次方根下不能为负。所以$b>0$。要求 $y >0 $是因为正数的任意次幂都为正，我们不可能将一个正数提升任意次幂得到一个负数或0。而要求$b \neq 1$是因为1的任意次幂都是它自身。而$1^{lo{g}_1(y)}=y$中的$y$可能不是1，当$y$不为1时，上式是不成立的。

考虑 ${\log }_{2}8$，它表示的是在幂运算中能够将2提升为8的x。也就是说$2^x=8$，这很容易就可以解出来$x=3$。

对数是指数的逆运算，所以指数的所有法则在对数中都有对应的版本。但对数中一条换底法则在指数中没有对应的法则。对于任意底数$b>0$且$b\ne 1$,和实数$x>0$与$y>0$：

• ${\log }_b(1)=0$：任何底数的1的对数都是0。
• ${\log }_b(b)=1$：任何数的自身的对数都是1。
• ${\log }_b(x\times y)={\log }_b(x)+{\log }_b(y)$：同底数对数相加时，将其真数相乘。
• ${\log }_b(\frac{x}{y})={\log }_b(x)-{\log }_b(y)$：同底数对数相减时，将其真数相除。
• ${\log }_b(x^n)=n{\log }_b(x)$：n倍的对数等于将对数的真数提升n次方。
• ${\log }_b(x)=\frac{{\log }_c(x)}{{\log }_c(b)}$：这称为换底公式。

对于任意的介于0到1之间的b，我们有：$\log_{b}(y)=-\log_{\frac{1}{b}}(y) $,其中$\frac{1}{b} > 0$。这是因为在指数中我们有 $b^{-x}=(\frac{1}{b}{)}^x$。

通过换底公式对于同一个数，不同底数的对数之间的关系是线性的，即它们是对方的常数倍。因此，不同底数的对数函数的图像在形状上是相似的，只是在垂直方向上进行了平移。这种平移的大小取决于底数的选择。

指数也具有一个换底公式：
$$b^x=c^{xlo{g}_c(b)}$$
但是因为它涉及到对数所以通常不会被列入指数法则中。

3.1.3 指数函数与对数函数

形如$f(x)=b^x$的函数成为指数函数。其中$b >0 $且$ b \neq 1$。它的定义域为整体实数集$R$,值域为$(0,+\infty)$。

对于形如 $f(x)=b^x$ 的指数函数，当 $b>1$ 时，函数是增函数，其图像在第一、二象限；当 $0<b<1$ 时，函数是减函数，其图像在第二、三象限。无论 $b$ 的具体值是多少，只要满足 $b>0$ 且 $b\ne 1$，其基本形状都是一样的，只是在垂直方向上进行了平移和缩放。

指数函数的性质决定了其图像的形状。对于任何正实数 $b$（$b\ne 1$），函数 $f(x)=b^x$ 都会通过点 $(0,1)$，并且当 $x$ 趋于负无穷时，$y$ 趋于 0（如果 $b>1$）或者趋于 正无穷（如果 $0<b<1$；当 $x$ 趋于正无穷时，$y$ 也趋于正无穷（如果 $b>1$）或者趋于 0（如果 $0<b<1$）。这些性质决定了所有指数函数的图像在形状上都是相似的。

指数函数的图像：

从图像中我们不难看出指数函数是具有反函数$f^{-1}$的。对数是指数的逆运算，所以有$f^{-1}(x)=lo{g}_b(x)$。 我们知道反函数与原函数关于直线$y=x$对称。我们很容易可以画出对数函数的图像。