微积分-第四章极限-2

4.2 左极限与右极限

上一节中我们提到的极限又称为双侧极限。这是因为这个极限是x从数轴的左右两侧趋向于点a时$f(x)$趋向于值L。即$0<|x-a|<\delta$。
$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$$

既然双侧极限，那么就有单侧极限：左极限、右极限。

左极限通常是指当$x$从数轴左侧趋近于点$a$时，$f(x)$趋向的值L。即$x-a<0$且$|x-a|<\delta$
$$\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=L$$
在$a$上使用上标$-$表示该极限是一个左极限。

右极限通常是指当$x$从数轴右侧趋近于点$a$时，$f(x)$趋向的值L。即$x-a>0$且$|x-a|<\delta$
$$\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=L$$
在$a$上使用上标$+$表示该极限是一个右极限。

通常双侧极限在x=a处存在，仅当左极限和右极限在$x=a$处都存在且相等。即
$$\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=L且\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=L$$
等价于
$$\underset{x\to a}{\lim }=L$$

如果左右极限不相等或不存在则双侧极限不存在。

如果$f(x)=\frac{1}{x}$,那么
$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$$
是何值？

让我们画出函数的图像

我们好像不能直接看出它的双侧极限。那就让我们从左极限和右极限开始。
考虑
$$\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)$$
看图像，当x从右侧趋向于0时，$f(x)$看起来是非常大的，并且越靠近0，$f(x)$越大。我们称该极限是无穷大记作$\infty$。所以我们有：
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\infty$$

再来看左极限
$$\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)$$
它和右极限的情况恰好相反，当x从左侧趋向于0时，$f(x)$看起来是非常小的，并且越靠近0，$f(x)$越小。我们称该极限是无穷小记作$-\infty$。所以我们有：
$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=-\infty$$
因为
$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$$
所以
$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)不存在$$

垂直渐近线是函数图像在某一点的左侧或右侧无限接近但永不相交的直线
我们不难发现y轴是$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=0$处的垂直渐近线。

现在给出一个关于垂直渐近线的正式定义：
$$f在x=a处有一条垂直渐近线说的是，\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)和\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x),其中至少有一个极限是\infty 或-\infty$$
** 未完待续**
如有问题恳请指正